Известна дружба Леонардо да Винчи и математика Луки Пачоли, завязавшаяся во время их службы у Миланского герцога Лодовико Моро в 1496-1499 гг. Сведения об их творческом сотрудничестве сохранились в трудах Луки Пачоли, в частности в его сочинении "О божественной пропорции", а также в недавно опубликованной рукописи "О возможностях чисел" ("De viribus quantitatis"). Несколько упоминаний о Пачоли содержат записи Леонардо. Они важны для понимания роли известного математика в совершенствовании математических знаний Леонардо, не получившего, как известно, систематического образования. В отечественной историографии творческое содружество двух ярчайших деятелей итальянского Возрождения не было предметом специального исследования (1). В обширной зарубежной литературе о Леонардо да Винчи крайне мало, однако, работ о его связях с Лукой Пачоли (2). Нам эта тема представляется заслуживающей особого внимания.

    Сведения о биографии Луки Пачоли скудны. Родился он около 1445 г. в Богро Сан Сеполькро (близ Ареццо) в пополанской семье. Здесь начались его занятия математикой в мастерской знаменитого художника и математика Пьеро делла Франческа. В 1464 г. Пачоли получил место преподавателя математики в доме венецианского купца Антонио Ромпиачи. В Венеции он посещал публичные лекции по математике Доменико Брагадино, а в поездках на Ближний Восток (за счет Ромпиачи) получил возможность познакомиться с весьма развитыми здесь математическими науками. В Венеции Пачоли написал первую работу по математике - учебник по коммерческой арифметике (ныне утрачена). С 1470 г. Пачоли жил в Риме, где был принят (не позднее лета 1471 г.) в доме Леона Баттиста Альберти как почетный гость. Дружба с Альберти, известным гуманистом, архитектором и математиком, повлияла на научные взгляды Пачоли. Спустя много лет он напишет в сочинении "О божественной пропорции" об Альберти как "о человеке великой проницательности и учености" (3).

    В 1477 г. Пачоли принял монашеский сан, вступив в орден францисканцев-миноритов (теперь он именовался фра Лука из Борго), что позволило ему читать лекции в школах и университетах Италии. Он стал странствующим профессором математики (таков был его официальный статус) и в течение многих лет читал курс по арифметике и алгебре в университетах Перуджи, Рима, Неаполя, Флоренции. В 1486 г. фра Лука из Борго получил степень доктора теологии и начал готовить сводный труд по математике, который завершил в 1493 г. В 1494 г. при его непосредственном участии была напечатана в Венеции в типографии Паганино Паганини "Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях". Второе издание "Суммы" вышло в 1523 г., и в течение полувека труд Пачоли был самым обстоятельным и читаемым сочинением по математике. "Сумма" содержала ряд трактатов по арифметике, алгебре, а также о впервые изложенной им теории и практике двойной бухгалтерии, предназначенной для оформления торговых книг.

    Написанная на итальянском языке, "Сумма" сразу принесла Пачоли славу ученого-математика. Книгой заинтересовался и Миланский герцог Лодовико Моро (Лодовико Сфорца), решивший пригласить автора для чтения лекций по математике в университете Павии (расположенная недалеко от Милана, Павия была в те времена главным научным центром герцогства). Пачоли принял предложение Лодовико Моро, предоставившего ему кафедру математики. Его лекции начал посещать Леонардо да Винчи, служивший у герцога в качестве инженера-мелиоратора (4). В Милане Пачоли начал работу над сочинением "О божественной пропорции", иллюстрации к которой попросил сделать Леонардо. Их творческое сотрудничество привело к тесной дружбе, так что, когда Милан в 1499 г. был взят французами (в 1494 г. начались Итальянские войны), они вместе покинули город и отправились сначала в Венецию, а затем во Флоренцию. В 1506 г. Леонардо вернулся в Милан, где стал служить у короля Людовика XII, а Пачоли в течение нескольких лет жил во Флоренции, но ездил читать лекции в университеты Пизы, Перуджи, Болоньи. В 1508-1510 гг. Пачоли находился в Венеции, где готовил к изданию свой перевод сочинений Евклида по геометрии. В 1510 г. Пачоли в Перудже читал лекции по математике, а в 1511 г. вернулся на родину, в Борго Сан Сеполькро, где стал настоятелем францисканского монастыря. Однако слава Пачоли-математика по-прежнему была велика: в 1514 г. папа Лев X пригласил его в Рим для чтения лекций. В 1517 г. Пачоли скончался и был похоронен в Борго Сан Сеполькро, в церкви Сан Джованни (5).

    В мастерской Пьеро делла Франческа, где он обучался в юности, и позже Пачоли многое черпал из практики инженерного и художественного ремесла. И свои труды по математике он рассматривал как возможный ответ науки на сложные задачи, выдвигавшиеся практикой. Эту позицию раскрывают его собственные признания в предисловиях к "Сумме" и сочинению "О божественной пропорции". Об этом свидетельствует и чрезвычайно широкое распространение его трудов, написанных на итальянском, а не на латыни, как это было принято в науке той поры. Показательно, что в "Сумме" некоторые разделы он давал в латинском и итальянском вариантах. Пачоли мечтал освободить науку - а главной в ней он считал математику - от схоластической абстрактности и обогатить практику научной теорией. Поэтому итальянский язык для сочинений по прикладной математике он выбирал не случайно: практикам он был более доступен, чем латынь.

    Вдохновляла Пачоли и другая идея - стремление показать универсальный характер математических знаний, математики как "всеобщей закономерности", которую можно применить ко всем вещам. Это убеждение фра Луки основывалось на философии Платона, его учении о математике как некоем опосредующем звене между миром идей и материей, а также на неоплатонизме Марсилио Фичино и Джованни Пико делла Мирандола, проникнутом пифагорейскими и каббалистическими представлениями о роли числа. Однако его мало привлекал в целом умозрительный характер философии флорентийских неоплатоников (6).

    Как показал Л. Ольшки, Пачоли был хорошо знаком с математическими идеями Платона по его "Тимею". По примеру пифагорейцев Платон полагал, "что четыре или пять стихий состоят из правильных тел. Он представлял себе, что однородная, составляющая тело мира материя, сгущаясь известным образом в небольшие, невидимые тетраэдры, образует стихию огня, а в гексаэдры - стихию земли... Между этими крайними телами помещались затем в виде связующих звеньев икосаэдр и октаэдр, причем первый получил форму стихии воды, а второй форму стихии воздуха. Пятое из правильных тел, додекаэдр, представляло, по мнению пифагорейцев, эфир и символизировало у Платона упорядоченную форму мирового целого. Переход одной стихии в другую изображался в виде преобразования правильных тел друг в друга. Таким образом платоновская физика сливалась со стереометрией" (7). И у Пачоли, разделявшего эти пифаогорейски-платоновские представления, стереометрия оказывалась главным звеном его математических изысканий.

    Античные идеи легли в основу учения о пропорции, которому Пачоли уделял особое внимание. В "Сумме" он отмечал: философы "хорошо знали, что без учения о пропорции невозможно познание природы; действительно, всякое наше исследование направлено на то, чтобы установить отношение вещей друг к другу" (8). Пачоли была близка высказанная в "Тимее" мысль Платона, что с пропорциями мы имеем дело "не только в области чисел и измерений, но и в музыке, в географии, в определении времени, в статике и Динамике, во всех, следовательно, искусствах и науках" (9). На точном знании пропорций покоится линейная и воздушная перспектива, равно как и правдивое изображение человеческого тела. Особый интерес Пачоли проявлял к архитектурным пропорциям: в возведенной Брунеллески церкви Сан Лоренцо во Флоренции он видел наиболее совершенный пример правильного Применения пропорции в современном ему зодчестве (10).

    Главная посылка философских взглядов Пачоли - идея рациональности божественного творения, к которой причастен и человеческий ум. Выражением рациональной связи между Богом, миром и человеком является число, поэтому и познание структуры вещей, т.е. наука, обращено к изучению количественных закономерностей, а значит, связано с математикой, полагал он.

    Пачоли мечтал сделать учение о пропорции доступным для практического применения в работе художников и архитекторов. Уже в "Сумме" этой энциклопедии математических знаний, он поднимает вопросы, основательно забытые в средние века, но актуальные для технических и художественных ремесел эпохи Возрождения (11). Он воскрешает интерес к геометрии, особенно к учению о многогранниках, а также формулирует ряд важных положений об универсальности пропорций, о пропорциональности как натурфилософской закономерности. Этот труд свидетельствует об огромной научной эрудиции Пачоли-математика, хорошо знакомого с сочинениями Евклида и Боэция, Леонардо Пизано (Фибоначчи) и Бьяджо Пелакани да Парма, Джордано Неморарио и Региомонтана, равно как и глубокие познания в области философии. В учении о пропорции он опирается не только на Евклида и Боэция, но подкрепляет теоретическую часть ссылками на Платона, желая подчеркнуть значение пропорциональности как принципа природы, как естественного и эстетического канона. Такая "спаянность" математики и философии была присуща не только "Сумме" Пачоли, но и другому значительному его сочинению - "О божественной пропорции" и может рассматриваться как принцип научного метода фра Луки из Борго.

    "О божественной пропорции" - математический труд, специально посвященный рассмотрению проблем, в решении которых нуждались инженеры и художники: это проблемы пропорции и построения правильных многоугольников и многогранников. Интерес к ним Пачоли проявил и в "Сумме", но в этой работе он усилил философскую основу математической теории, демонстрируя приверженность платоновско-пифагорейской концепции чисел (12).

    Книга "О божественной пропорции", написанная Пачоли в Милане (он завершил ее в 1498 г.), была напечатана позже, в 1509 г., в Венеции. 60 цветных иллюстраций к ней выполнил по просьбе Пачоли Леонардо да Винчи. Иллюстрации представляли собой комплекс трехмерных рисунков в стереометрии. Пачоли хвалит их как "выполненные весьма совершенно в перспективном построении" (13). Среди этих рисунков были так называемые правильные тела - пять многогранников, которые Платон определял как формы пяти естественных элементов: пирамида - огня, куб - земли, додекаэдр - неба, октаэдр - воздуха, икосаэдр - воды. Леонардо нарисовал их во всех возможных вариантах. Безусловно, столь мастерски выполненные иллюстрации повышали научную ценность книги и делали ее более привлекательной для читателя.

    Сочинение "О божественной пропорции" состоит из трех частей: "Компендия о божественной пропорции", "Трактата об архитектуре" и "Небольшого трактата в трех частях". В первой части, воздав хвалу математике, Пачоли излагает теорему о "божественной пропорции", смысл которой заключается в следующем: постоянная пропорция возникает при таком разделении сегментов на две части, когда квадрат, построенный на большей его части, раеен прямоугольнику, имеющему в качестве сторон весь сегмент и меньшую его часть. Такая пропорция известна как "золотое сечение". Пачоли именует эту математическую закономерность "превосходной", "божественной" пропорцией, усматривая в ней ряд черт, сходных с высшей божественностью. Это, во-первых, единичность, или исключительность, Бога; во-вторых, его троичность и соответственно наличие трех пределов в пропорции; наконец, неизменность Бога и пропорции; отмечает он и другие подобия. Превосходные свойства данной пропорции подчеркиваются, по мысли Пачоли, и безграничностью ее возможностей, поскольку, не зная ее, невозможно обнаружить многого, достойного восхищения, как в философии, так и в других науках (14).

    Рассмотрев 13 следствий из теоремы о постоянной пропорции, Пачоли переходит к изложению принципов построения правильных многогранников, доказывая, что их существует в природе только пять. Он определяет отношение между сторонами правильных многогранников и диаметром сферы и исследует, каким образом можно вписать один многогранник в другой. Правильные тела Пачоли вслед за Платоном соотносит с основными элементами - стихиями мира: землей, водой, огнем, воздухом и небом (15).

    Во второй части сочинения Пачоли ведет речь о колоннах, пирамидах, конусах и принципах их построения преимущественно на основе теории Витрувия, что имело важное значение для архитектурной практики того времени. Популярность архитектурной теории Витрувия была связана в значительной мере с публикацией в 1485 г. труда Альберти "О зодчестве". Пачоли обращает особое внимание на заключенный в архитектурных формах принцип красоты, выражающийся в "божественной пропорции". В приложении к своему сочинению он дает перевод с латинского на итальянский язык трактата "О пяти правильных телах" Пьеро делла Франческа, опубликованного в 1507 г. В трактате содержались указания на практическое применение теорем Евклида о правильных телах, было показано, как измерять и строить стереометрические тела (многогранники, сферы и т.д.). Все это прямо отвечало запросам зодчих и художников, что и побудило Пачоли включить перевод трактата своего учителя, к которому он всегда относился с большим почтением, в книгу "О божественной пропорции". Появились обвинения Пачоли в плагиате (первым это сделал Дж. Вазари), но следует заметить, что традиция создания научных трудов не исключала подобного рода включений. К тому же Пачоли осуществил перевод трактата Пьеро дел-ла Франческа во имя благой цели - сделать его более доступным для художников и архитекторов, которым прежде всего была предназначена его книга, о чем гласит ее подзаголовок (16).

    Свой последний значительный труд по математике - "О возможностях чисел" ("De viribus quantitatis") - Пачоли завершил в 1508 г., подготовив рукопись к изданию, но по каким-то причинам не смог этого сделать. Впервые она была опубликована только в 1997 г. Это сочинение содержит арифметические и геометрические задачи, математические игры и разного рода загадки, Пословицы, басни (17). Этот труд Пачоли также предназначал для практическо го использования и писал его на итальянском языке, хотя, впрочем, не слишком совершенном. Здесь он вновь воздает хвалу рисункам Леонардо, сделанным для его книги "О божественной пропорции". Леонардо создал прекрасные фигуры многогранников - "высочайшего (уровня) легчайшие фигуры всех платоновских и математических тел, как правильных, так и производных (зависимых), рисунки которых выполнил в изометрической перспективе столь совершенно, что лучше сделать было бы невозможно, даже если бы к нам вернулись Апеллес, Мирон, Поликлет и другие" (18). И ностальгически замечает, что Леонардо выполнял рисунки "в те счастливые времена, когда мы вместе находились на службе в восхитительнейшем городе Милане" (19).

    Это были годы тесного сотрудничества Пачоли и Леонардо. Чтобы выполнить свое обязательство по созданию иллюстраций к книге Пачоли, Леонардо должен был познакомиться с принципами построения правильных многогранников и с теорией пропорций в целом. Л. Рети обращает внимание на тот факт, что именно начиная с 1496 г. в рукописях Леонардо много места занимает геометрия. В манускрипте М и I, который датируется 1496-1499 гг., сотня страниц посвящена изучению первых книг и отчасти десятой книги "Элементов" Евклида. По мнению исследователя, в этом можно видеть несомненное свидетельство влияния Пачоли (20). В Милане Пачоли работал над переводом "Элементов" Евклида, так что вполне возможно предположить, что он консультировал Леонардо по проблемам геометрии, во всяком случае поддерживал его интерес к этой области математики. Впрочем, Леонардо да Винчи еще в молодости, во Флоренции, занимали проблемы перспективы, связанные с геометрией. Увлекала Леонардо и теория пропорций, овладеть которой он считал важной задачей для себя как художника. Размышлял он и о теоретической стороне пропорциональности. В пропорции он видел основу числовой гармонии, присущей мирозданию, и полагал, что она составляет суть "не только числа и размера, но также звуков, веса, времени и места, любой существующей в мире силы" (21).

    Леонардо считал необходимым органическое соединение эксперимента с его математическим осмыслением - в этом он был пионером современного естествознания. Математика, по Леонардо, главная наука, способная придать результатам эксперимента достоверность и получить однозначную истину. Поэтому механику он называл раем математических наук. Такая позиция была близка к Пачоли, который полагал, что математика должна выражать всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам. В сочинении "О божественной пропорции" он подчеркивал, что "математические науки наиболее истинны и имеют первую степень достоверности, им следуют и все другие естественные науки" (22). Леонардо отмечал в записках: "Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой"; "Пусть не читает меня в основаниях моих тот, кто не математик" (23).

    Архимед и Евклид - античные столпы математики - были известны и в средние века, хотя к их трудам проявляли интерес скорее в плане теории, не в практическом преломлении. В эпоху Возрождения они стали основой не только для развития математической теории, но и широко использовались в прикладных целях, особенно труды Евклида. Сочинения Архимеда и Евклида хорошо знал Пачоли и часто ссылался на них. Возможно, под его влиянием они стали известны и Леонардо - ведь именно в Милане Пачоли занимался переводами Евклида. Конечно, главной школой формирования Леонардо-ученого была его практика художника и инженера. Следует помнить, что в Милане он состоят на службе у герцога в качестве инженера, ведавшего водными путями; он разработал ряд проектов по созданию каналов во владениях Лодовико Моро. Работал он по просьбе герцога и над его огромной конной статуей, что требовало детальных и точных математических расчетов. Отсюда, возможно, и интерес Леонардо к знаменитому профессору математики, лекции которого он стал посещать в университете Павии. и его стремление видеть в нем выдающегося специалиста в области прикладной математики. В записях Леонардо той поры читаем: "Научись умножению корней у маэстро Луки" (24). Есть сведения, что Пачоли помогал Леонардо в его расчетах грандиозной конной статуи Лодовико Моро. К. Педретти увидел множество перекличек в математических задачах, представленных в книге Пачоли "О возможностях чисел" (работу над ней он начал в Милане), с рукописями Леонардо времени их сотрудничества в Милане (25).

    Лука Пачоли питал огромное уважение к Леонардо, высоко ценил разносторонность его таланта, о чем не раз упоминал в книге "О божественной пропорции". Так, говоря об авторе иллюстраций к ней, он пишет: `Таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом, архитектором, музыкантом и всеми талантами одаренным Леонардо да Винчи" (26). Он писал о Леонардо как о "ненасытном в занятиях живописью, конструировании и ваянии" и завершившем уже "с всемерным старанием книгу о живописи и книгу о движении человеческого тела" (27). Пачоли выделял Леонардо среди яркого окружения герцога Лодовико Моро, при дворе которого работали выдающиеся художники, архитекторы, ученые (например, архитектор Браманте, историки Корио и Мерула, ученый Фацио Кар-дано и ряд других) (28). Изваянную статую герцога он называл "грандиозной и восхитительной", а "книгу о локальном движении от толчка и тяжести", над которой Леонардо работал в Милане, "бесценным трудом" (29). Дружбу Пачоли и Леонардо крепило тесное научное сотрудничество, взаимное глубокое уважение, совпадение позиций по многим проблемам науки. Судьба развела их в последние годы жизни, но взаимные симпатии и уважение сохранились, о чем свидетельствуют, в частности, последняя работа Пачоли "О возможностях чисел" и тот факт, что подлинники иллюстраций Леонардо он хранил у себя до конца дней (30). И если Леонардо да Винчи прославил эпоху Возрождения как ее универсальный гений, то Лука Пачоли стал выдающимся специалистом в одной области, подведя первые итоги развитию ренессансной математики. И в этом тоже была притягательная сила, способствовавшая их сближению и сотрудничеству.