ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - ГЛАВА 3. ВЕС И РЫЧАГ. § 3. КОЛЕHЧАТЫЕ ВЕСЫ И ПОТЕHЦИАЛЬHОЕ ПЛЕЧО

Последний случай равновесия весов, разобранный нами выше в процессе своего доказательства аргументирован равенством расстояний концов весов до вертикали, определяющим собой равновесие. Расширяя эту аргументацию, Леонардо неизбежно должен был притти к проблеме, которую ставил и разрешал уже Герон и разрешение которой лежало как бы в центре третьего варианта трактата Иордана Неморария: к проблеме коленчатого рычага. Иордан дал более или менее окончательный и правильный закон равновесия коленчатого рычага, обосновав его сложным и длинным геометрическим доказательством. Леонардо совершенно отбрасывает доказательство, кажущееся ему и мало понятным и, как обычно, ненужным. Обосновывает он свою формулировку закона, как всегда, экспериментом.

На одном из листов "Атлантического кодекса", по-видимому, не слишком раннем, но и не позднем (в ранний период своих научных занятий он, по-видимому, еще вообще не дошел до постановки вопроса о коленчатом рычаге), Леонардо зарисовывает те экспериментальные установки, которые впервые привели его к рассмотрению этой проблемы, и снабжает свои записи краткими замечаниями:

"Спрашивается, какой вес должен быть в ha (рис. 107), для того чтобы поднять груз, привешенный в b рычагом о, и спрашивается, как должен изменяться этот вес h при перемещении нити (tirare) из а в b и из b в с и так далее, постепенно опускаясь.

"Если а и b имеют одинаковый вес — 10, я спрашиваю, останутся ли весы горизонтальными при отклонении в b к подвесу весов, как изображено. Этот груз будет весить столько же в а, сколько в b.

"Как нужно экспериментировать при определении законов тяжести" (рис. 108— come si de´ sperimentare una regola de´peci-C.A. 39. r. а.).

В этой весьма характерной и обычно не привлекаемой исследователями в данной связи записи мы видим Леонардо, еще не знающего правильного ответа на ставящийся им вопрос ощупью приближающегося к нахождению этого ответа и конструирующего ряд более или менее сложных приспособлении для нахождения его. Самые установки, зарисованные в этой записи, настолько ясны, что не нуждаются в особом объяснении. Все они имеют целью обнаружить, влияет ли на равновесие изменение длины и направления подвесов.

В другом из листов того же "Атлантического кодекса" мы видим Леонардо подходящим уже значительно ближе к формулированию закона коленчатого рычага. На этом листе он зарисовывает, по-видимому, опять-таки ряд экспериментов. Он берет равноплечие весы и, так же как во втором рисунке предыдущей записи, отклоняет один из подвесов, проводя его через располагаемый в разных местах ролик. Ролик этот помещается на такой высоте, чтобы подвес, проходя через него, касался дужки, помещенной в центре весов и снабженной вращающимся радиусом-стрелкой. Устанавливая затем равновесие на весах и вычисляя отношение между длиной плеч и длиной радиуса дужки и между грузами, вызывающими равновесие, Леонардо легко приходит к правильному закону коленчатого рычага.

Однако, давая в цифрах, помеченных на рисунках (С. А. 100 v. b.), правильные соотношения между грузами и плечами, Леонардо нелегко находит правильную и окончательную словесную формулировку. Так, в записях, сопровождающих рисунки, он пишет:

"Всякая тяжесть, подвешенная по вертикальной линии к веревке, вся во всей этой веревке и вся в начале ее направления (rettitudine) (рис. 109).

"Но если нить, изгибаясь, изменяет свое направление (linia), то эта тяжесть удвоит свой вес в середине такого изгиба нити, и там (эта нить) из-за излишней нагрузки порвется.

"Кроме первой прямой линии, линии нити, поддерживающей вес, подвешенный к ней, сколько раз эта нить будет менять направление при своих многих изгибах, столько раз будет Удваиваться вес, привешенный к первой (нити). Это следует заметить в трактате о нитях" (С. А. 100 v. b.).

Из этой записи как будто следует, что Леонардо сначала пришел к неправильному выводу. Возможно, что, произведя опыт, заключающийся в пятом из приведенных выше рисунков, он на основании случайного совпадения результатов получает, что при двух изгибах нити вес будет учетверяться, и пытается из этого вывести общий закон. Ошибку свою он, однако, тут же замечает и в продолжение той же записи пишет:

"Воображаемые (spirituale) линии и линии телесные обладают равными свойствами", и заканчивает тот же отрывок абзацем, относящимся к последнему, к сожалению, очень неразборчивому рисунку:

"Если тянуть рычаг ab из n, то это n будет производить силу по воображаемой линии cb и (действовать), как будто тянут за воображаемый рычаг ас, и так как это ас помещается 4 раза в ab, то вес b должен 4 раза помещаться в n" (С. А. 100 v. b.).

Здесь Леонардо подходит уже вплотную к правильной формулировке, но дать ее еще не может.

Прежде чем дать окончательную и правильную формулировку, он должен был, как обычно, разобраться в отдельных составных элементах изучаемого им вопроса, дать отдельные определения, установить связи. Делает он это в следующей записи "Атлантического кодекса":

"Плечи весов бывают двух родов: во-первых — реальные, во-вторых — потенциальные. Реальные — когда эти плечи видимы и ощутимы, потенциальные — когда эти плечи невидимы и неощутимы.

"Соединение подвеса с реальным плечом весов никогда не будет прямоугольным.

"Соединение подвеса с потенциальным плечом всегда будет´ прямоугольным.

"Углы соединения подвеса с реальным плечом не будут равной высоты, если подвесы не нагружены равным весом.

"Расстояния, которые имеют углы соединения с реальным плечами весов, будут находиться между собой в той же пропорции, как веса и эти реальные плечи.

"Угол соединения есть соприкосновение, которое имеют подвесы с плечом весов, реальным или потенциальным.

"Реальными или потенциальными плечами называются кратчайшие расстояния, которые заключаются между точками соединения подвесов с этими плечами и центром опоры весов.

"Равные веса на реальных плечах дают равные углы соединения подвесов.

"Неравные веса на неравных реальных плечах делают углы соединения неравными по высоте.

"Реальные и потенциальные плечи находятся в тех расстоянии, которые заключаются между подвесами грузов и центром весов.

"Потенциальное плечо всегда короче плеча реального" (С. А. 122 v. a.).

Все эти определения совершенно правильны и будут легко понятны, если мы напомним, что имеем дело со случаем равноплечих весов, равновесие которых достигается при изменении направления подвеса.

Изложенные в приведенном отрывке утверждения, очевидно, давались Леонардо далеко не легко, почему он неоднократно повторяет их в разных вариантах, например, весьма подробно в Е. 64 r. Но, так или иначе, разобравшись в основных понятиях и соотношениях основных величин в коленчатом рычаге, Леонардо, естественно, должен и может перейти к теоретическому анализу условия равновесия этого рычага. Он это и пытался сделать в нескольких, сравнительно поздних записях кодекса "М".

"То называется истинным концом плеча весов, что соединяет свое направление с направлением нити, натянутой грузом под прямым углом, как это видно в s с та (рис. 110) и так же точно в рn с nа (духовное плечо). А та часть истинного веса, которой нехватает при подвесе р (Ancora cio che manca del vero peso appicato in f), прибавляется к точке опоры весов по направлению их истинного плеча af. Ты увидишь, таким образом, что плечо af сделалось по силе 4 равным плечу an, в котором фунты производят действие веса (f anno peso) 4, почему другие 4 разгружаются на точку опоры весов в af" (М. 39 v. и 40 r.).

В этой записи Леонардо дает уже совершенно правильный и четкий ответ на вопрос о равновесии коленчатого рычага считая, что вес на отклоненной нити будет так относиться к весу на перпендикулярной, как длина второго относится к длине перпендикуляра, опущенного из точки опоры весов на направление отклоненной нити. Объяснение, даваемое этому закону, хотя и правильно, но крайне замысловато и запутано. Леонардо, по-видимому, сводит данный случай к разобранному выше (см. стр. 591) случаю равноплечего рычага, на правом плече которого помещен данный груз, а на левом — два груза: один, равный первому, и второй, искомый, на расстоянии, равном длине перпендикуляра из точки опоры на направление нити. Сумма же этих грузов дает груз, который, будучи подвешен на отклоненной нити, поддерживает весы в равно- весии. Такой метод доказательств показывает, что Леонардо, подходя с разных сторон, на всяком материале (вспомним обоснование закона прямолинейного рычага — стр. 590), к понятию момента силы относительно точки, далеко не свободно владеет еще этим понятием. Даже во время писания кодекса "М" он нуждается в добавочных, кружных путях для полного понимания и уяснения этого понятия, прежде всего, самому себе.

Выяснив в кодексе "М" величину груза, необходимого дли уравновешения весов, один из грузов на равных плечах которых отклонен, Леонардо в этом же кодексе без особых доказательств, как будто в данном случае и ненужных, устанавливает, что при данном направлении отклоненного подвеса часто укрепления на нем груза не влияет на равновесие.

"Всегда будет одна и та же сила (р) и сопротивление, в каком бы месте ни была привязана нить по линии abc и также внизу по линии mn" (M. 50 г.) (рис. 111).

И дальше:

"В каком бы месте ни была привязана нить nc со стороны ас, разницы не будет, ибо она всегда действует на (adopra) линию, вторая падает перпендикулярно из центра весов на линию нити, т. е. линию fm" (M. 50. v.).

В приведенных записях дана полная и правильная, хотя еще далеко не удачная, формулировка условия равновесия коленчатого рычага, причем выработана она на частном примере равноплечих весов с одним отклоненным подвесом. В "Кодексе Арундель", в ряде также не особенно ранних записей, Леонардо стремится проверить и сформулировать, каково это условие для собственно углового рычага:

"Правило угловых весов. Угловой равноплечий рычаг есть такой, в котором соединение прямых плеч угловое, в каковом углу помещена его точка опоры.

"Плечо поднимается (до места, в котором) помещается центр веса, подвешенного к нему.

"Расстояние между противоположными концами угловых весов и центральной линией их точки опоры находится всегда в той же пропорции, в какой находятся между собой длины плеч этих весов, но пропорция будет обратной. Например, для угловых весов cef (рис. 112), точка опоры которых находится в углу е, расстояния противоположных концов f и с от центральной линии ab находятся в такой пропорции, какова она между длинами плеч еc и ef, но обратной, т. е. конец меньшего плеча настолько отдален от центральной линии, насколько оно меньше своего большего. Таким же образом расстояние между большим плечом и центральной линией настолько меньше, насколько это плечо больше, чем меньшее.

"n - центр тяжести плеча ef — вдвое более отдален от центральной линии ab, чем g — центр тяжести плеча еc. И то, что делают центры тяжести этих плеч, то же делается и их концами, третями, и их четвертями, и каждой другой корреспондирующей частью их" (Аr. 32 v.).

Приведенный отрывок вначале кажется глубоко ошибочным: он как будто устанавливает в качестве условия равновесия коленчатого рычага пропорциональность длин плеч и расстояний концов их от вертикали, проходящей через точку опоры. На самом же деле утверждение Леонардо безукоризненно правильно. Приступая к отысканию закона равновесия коленчатого рычага, Леонардо, несомненно, начал, как он обычно это делает, с эксперимента, причем он экспериментировал с весомым рычагом, оба плеча которого, сделанные из одного материала, обладали равномерной и одинаковой толщиной поэтому, естественно, веса плеч были пропорциональны их длинам. Первые выводы, записанные в приведенном отрывке, Леонардо, несомненно, делает над ненагруженным, неравноплечим, весомым коленчатым рычагом. При этом он совершенно правильно констатирует, что расстояния центров тяжести плеч до вертикали будут пропорциональны длинам плеч. Отсюда, так как длины плеч пропорциональны весам их, общий закон прямолинейного рычага требует для равновесия ненагруженного, весомого коленчатого рычага длин плеч, пропорциональных расстояниям концов их от вертикали.

Такому толкованию текста как будто не вполне соответствует сопровождающий его рисунок, на котором и на левом плече рычага, в конце его, укреплен вес в 4 единицы, и на правом, в середине, такой же вес. Но мы склонны полагать, что рисунок, имеющий не окончательный, а чисто рабочий характер, относится уже к следующей стадии экспериментов Леонардо над коленчатым рычагом с грузами. Правильность же этого предположения доказывает продолжение того же отрывка, гласящего:

"Здесь (рис. 113) отношения окружностей не равны при движении плеч, но равны по расстоянию от центральной линии.

"Правило для расчета способа расположения расстоянии от центральной линии концов весов с любым углом — это, во-первых, весы с тупым углом, начиная от прямолинейных весов, в которых принято, что большее плечо od вдвое больше меньшего плеча ое.

"Отношение, в котором находятся между собой расстояния линии точки опоры весов, будет то же, в котором между собой находятся расстояния концов этих плеч и длины этих плеч.

"Посмотри на конец i плеча oi, каковой вдвое более удален от центральной линии ed, чем конец а плеча оа, и это происходит потому, что оа вдвое больше чем oi. И также плечо ok и плечо bd, как видно в s, где пересекается перпендикуляр hk. И также ro — расстояние, происходящее от перпендикуляра gl, который вдвое больше, чем bd. И также следует дальше до бесконечности, постоянно по тому же правилу (Аг. 32 v.).

В этой второй части записи Леонардо, установив экспериментально закон равновесия коленчатого рычага, пытается дать некое геометрическое обоснование этому закону, выразить его в геометрической форме. Явно подражая Иордану Неморарию во внешней стороне своего геометрического подхода, Леонардо, однако, обнаруживает беспомощность в самостоятельном геометрическом обосновании даже того закона, который, как мы помним, был довольно остроумно и не слишком сложно обоснован в третьем варианте Иордана. Леонардо начинает с построения, несколько напоминающего построение всего первоисточника, и делает при этом ряд ошибок: углы doe и bok не будут соответствовать тем характеристикам, которые он им дает (doe — не тупой, а прямая линия, aoi — не острый, а тупой, bok — не острый, а прямой), ошибочно изображать ad отрезком прямой, тогда как, по смыслу задачи, od при всех поворотах должно оставаться равным, т. е. ad должно быть частью окружности радиуса do. В конце концов, он приходит к формулировке, которая, по-видимому, может быть сведена к следующему: если мы имеем коленчатый рычаг, длины плеч которого и расстояния концов этих плеч до вертикали из точки опоры обратно пропорциональны, то для сохранения этой пропорциональности необходимо, в случае приближения или удаления одного из плеч к вертикали, приближать или удалять и другое плечо, причем, отношение углов сдвигания должно оставаться равным отношению длин плеч. Вряд ли эта замысловатая формулировка что-нибудь давала Леонардо в смысле уяснения разбираемого вопроса. Но она придавала научный вид его экспериментальным изысканиям и хотя бы внешне приближала его к признанному авторитету в сфере конкретной механики — трактатам "De ponderibus".

Понятно поэтому, что, закончив свое геометрическое "обоснование" закона равновесия коленчатого рычага, Леонардо пишет: "Не следует порицать за введение в порядке движения науки (l´ordine del processo della scienza) некоторых общих правил (regole generali), рожденных вышеприведенным доказательством", и затем под характерными заголовками "испытано" или "проверено на опыте" (provato) формулирует действительно общее условие равновесия коленчатого рычага:

"Если плечи весов не равны и их соединение в точке опоры будет угловым, и если концы их будут одинаково отстоять от центральной линии точки опоры, то подвешенные к ним веса, будучи равными, будут одинаково весить" (Аr. 32 v.).

"В этом утверждении содержится другой случай коленчатого рычага с нагруженными плечами, подробно разбираемый другой записи того же "Кодекса Арундель".

"Испытано. Возможно, чтобы равные веса, подвешенные на неравных плечах, оставались равными по силе (р), и это случится, когда соединение этих плеч будет угловым в их точке опоры.

"Доказывается это так (рис. 114): пусть будут весы gac с угловым соединением в своей точке опоры а, и пусть большее плечо будет ag, меньшее ас и длина большего плеча вдвое больше меньшего плеча. Теперь я подвешу к центру меньшего плеча вес n и в конце большего плеча вес т; и тот и другой веса оказываются равными и равно отстоящими от центральной линии dh, так как, по определению окружности, линии или расстояния pg и ро равны. Доказывается также, что тяжесть плеч, хотя одно из них вдвое больше другого, равна по причине места, в котором находятся центры их тяжести, т. е. е и b; е — центр тяжести большего плеча, а b - меньшего, и расстояния их от центральной линии dh вдвое больше одно другого, ибо, как ясно видно, ab вдвое больше чем ef; итак, мы подтвердили предположение.

"То, что центры тяжести плеч в своих расстояниях от центральной линии находятся в двойной пропорции, доказывается при помощи пирамиды (треугольника), которая, будучи разрезана пополам в центре линий ef, даст линию разреза, равную половине основания gp, основание же это равно ab" (Аr. 67 v.).

Если мы, прочитав это доказательство закона равно? ^ коленчатого рычага, даваемое Леонардо опять-таки под заголовком "испытано", вспомним тонкие и замысловатые геометрически- алгебраические рассуждения трактата "De ponderibus", ясно почувствуем разницу между кабинетной, формально изощренной, но мало связанной с реальностью схоластической наукой и грубоватой, несколько неуклюжей, но насквозь реалистической наукой, органически растущей из нужд новой техники.

Окончательно уяснив и сформулировав в более или менее общей форме закон равновесия коленчатого рычага, Леонардо применяет его для решения ряда нередко очень трудных задач, в которых рассматривает частные случаи этого равновесия при трех, четырех и большем числе реальных подвесов. Случаи эти, невидимому, подсказываются ему его технической, в первую очередь, наверное, строительной, деятельностью, чем объясняется частое возвращение к ним. Ввиду того, что разбор этих задач довольно запутан и не дает ничего особенно нового, мы ограничимся только приведением части одной из соответствующих записей "Кодекс Арундель", дающей к тому же повторную характеристику некоторых основных элементов, определяющих равновесие коленчатого рычага.

"Силы (р) реальных подвесов, соединенных противоположными плечами весов в наклонном положении, не являются настоящими плечами этих весов, что явилось бы вульгарным определением , так как они имеют реальное, а не потенциальное положение. Истинно же определение, что они составлены из реального и потенциальных, что происходит, когда соединение реальных подвесов с плечами равноплечего рычага будет прямоугольным; если же оно не прямоугольно, то необходимо произвести подсчет весов, помещенных на плечах таких весов с прямыми потенциальными углами, если там не имеется прямых реальных углов. Следовательно, по тому, что изложено выше, мы находим, что в изображенном здесь равноплечем рычаге соединения пяти подвесов не прямоугольны с плечами равноплечего рычага, но остроугольны, как это видно в подвесах cm, fm, ng, hi и ki (рис. 115). Вследствие этого, желая произвести правильный расчет с учетом истинных подвесов необходимо пользоваться потенциальными подвесами, соединенными под прямыми углами с потенциальными плечами названного равноплечего рычага, каковыми углами являются а и b над весами, с и d под этими весами; (углы эти) являются прямыми, составленными истинными потенциальными плечами и истинными потенциальными подвесами. Остается один прямой угол под точкой опоры весов, называемый полуреальным углом, так как он составлен из реального подвеса и потенциального плеча.

"Давши определения и наименования плеч и подвесов в весах, необходимо дать их расчет, чтобы определить их истинные силы. Для этого мы поместим правые и левые потенциальные плечи вокруг точки опоры весов при помощи кругов, изображенных выше , в тех же пропорциях разделим вес n и дадим каждому подвесу его часть" (Аr. 117 r.)

Приведенная запись использует закон, установленный для коленчатого рычага. По этому закону определяющим равновесие является произведение веса на длину перпендикуляра из точки опоры на подвес этого веса, т. е. понятие момента силы относительно точки, применяемое для объяснения явления несколько иного порядка — натяжения нити, два конца которой подвешены к концам плеч равноплечих весов, а середина нагружена определенным весом. Последняя задача, путь решения которой указан вполне правильно, выводит нас за пределы рассмотрения самой теории рычага-весов, в область рассмотрения отдельных, более или менее частных вопросов, в которых эта теория находит себе применение.