ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕХАНИКА - ГЛАВА 2. ФЕОДАЛИЗМ. § 3. КОHКРЕТHАЯ МЕХАHИКА И ТРАКТАТЫ ИОРДАHА НЕМОРАРИЯ (ПРОДОЛЖЕHИЕ)

Здесь автор спохватывается, что он все говорит о длинах путей и ничего не говорит о скоростях, с которыми он как истый перипатетик оперирует в основной формулировке теоремы. Поэтому он доказывает, что так как движения gbd и gbc соответствуют движению b и е, помещенных в одной точке, то они происходят в одно и то же время, причем доказывает это столь сбивчиво, что сам затем выражает сомнение в убедительности доказательства, но считает, что оно не так важно:

"Если же это доказательство не будет убедительным, неважно. Является ли скорость пропорциональной или нет, нужно только, чтобы если g в d достаточно для поднятия е, то g в с было достаточным для поднятия b. И уже первое предложение текста Иордана имеет другую формулировку: в любых весомых телах пропорция между скоростями и весами одна и та же — прямая" .

Во всем приведенном длинном рассуждении мы ясно видим стремление найти переход от аристотелевой формулировки закона естественного движения к закону рычага, свести последний к первому. В то время как в первом, чисто перипатетическом варианте переход этот давался путем простого постулирования существования "gravitas secundum situm", зависящего от наклона или изгиба кривой, по которой груз движется, — в данном варианте мы видели попытку доказать то же самое что невозможно, Противоречия в рассуждении замечает и сам автор трактата, пытаясь, однако, настаивать на том, что если правильно разобраться в понятиях, то все возражения противников отпадают.

Третья теорема, как мы видели выше, гласит, что различие в длине подвесов не влияет на равновесие весов; теорема эта не доказывалась, а просто как бы разъяснялась в перипатетическом варианте; здесь же доказательство ее достаточно сложно и пространно. Пусть, гласит доказательство, дан (рис. 16) стержень abc, центр которого а, и из двух подвесов bd и се первый короче второго, на концах же их укреплены равные грузы d и е. Пусть afq будет вертикальная линия, проведенная через середину а стержня abc, a df и ge — линии, параллельные abc и соединяющие концы подвесов с названной вертикалью. Из точек f и q как из центров мы проводим четверти окружностей радиуса df = qe, каковое равенство подробно доказывается сведением к 34-й теореме первой книги Евклида (per tricesimam quartam primi Euclidis). Из этого же равенства следует, что и самые четверти окружностей равны, а из этого — то, что опускается по построенным им дугам, и возвращается к доказательству этого утверждения. Из точки а как из центра проводим половину окружности bтnс и предполагаем, что b будет опускаться до т, а с до n, и от точек т и n (печатный текст в этом месте несколько испорчен) проводим линии mh и nk, параллельные вертикали afg, до пересечения с ранее построенными четвертями окружностей. Затем, путем сложного рассуждения, доказывается, что bо так относится к от, как dp к ph, а так как bо и dp равны, то от и ph тоже равны, а из этого выводится, что bd равно mh, так как ор равно bd. Поэтому, когда b будет в т, d будет в h, и, следовательно, b и d будут всегда находиться в одинаковых точках дуги. То же и таким же образом может быть доказано относительно с и е, а, следовательно, доказано и то положение, которое казалось недостаточно обоснованным. После этого геометрического доказательства, изложенного нами со значительными сокращениями, следует весьма любопытная и уводящая нас совсем в другую сторону, очевидно гетерогенная основному тексту, оговорка, что вышеприведенное доказательство базируется на допущении подвесов, параллельных вертикали; фактически же они направлены в одну точку — центру земли, т. е. не вполне параллельны; но так как подвесы весьма не велики по сравнению с большой величиной расстояния до центра, то непараллельностью этой можно пренебречь.

Восьмая, как мы уже говорили — основная, теорема содержит доказательство закона рычага: обратной пропорциональности длины плеч и весов. Доказывается она следующим образом.

Пусть bас (рис. 17) будет коромыслом весов, на концах которого укреплены грузы b и с, причем b так относится к с, как са к аb. Требуется доказать, что при этом условии весы находятся в равновесии. Предположим, что это не так и что конец коромысла b поднимается в точку d, а конец с опускается в точку е. Опускаем из точек d и е перпендикуляры на прямую bас и по 29-й и 15-й главам первой книги Евклида получаем два подобных треугольника adb и aef, а из этого по четвертой главе шестой книги Евклида da так относится к ае, как db к ef. Но da так относится к ае, как вес с к весу b, следовательно db так относится к fе, как вес с к весу b. На прямой dae отложим затем ag, равное ае, и из g опустим перпендикуляр gh на прямую bас в поместим в h вес, равный весу с. Тогда, так как ga и ае равны, то по четвертой главе шестой книги Евклида gh и fе также равны, а так как веса с и h равны по заданному, то, следовательно, подставляя в предыдущее равенство вместо fe — gh и вместо с — h, получим, что db так относится к gh, как вес h к весу b. Придя к такой пропорции, мы рассуждаем так (arguitur sic): при перемещении bас в dae точки b и h будут двигаться по окружностям диаметров bа и ha=ca, а, следовательно, веса грузов d и g "по положению" будут относиться между собой, как диаметры окружностей их движения, так как b будет описывать большую окружность, чем h. Но мы только что доказали, что отношение естественных весов b и h равно обратному отношению ha к bа, а из сравнения двух этих равенств следует, что грузы b и h, будучи помещены на расстояниях, обратно пропорциональных своим естественным весам, будут на весах равно весить, ибо меньший груз будет "по положению" увеличиваться ровно настолько, насколько он раньше был меньшим. Из этого же следует, что, будучи помещены в указанном положении на коромысле весов, грузы b и h равны по своему действию, и тот вес, который может поднять b, может поднять h. Мы же предположили, что груз с поднимает b, а, следовательно, груз с подымает и h, что невозможно, так как, по условию, с и h равны и расположены на равных расстояниях от d, по второй теореме настоящего трактата. Доказав таким образом то, что требовалось, автор, по-видимому, не удовлетворяется своим рассуждением, начиная с того места, где оно теряет чисто геометрический характер, и предлагает другое, более простое: "aliter potest argumentari secundum communiter loquentes" — отношение веса h к весу b равно отношению подъема b (bd) к подъему h (hg). Следовательно, та сила, которая может поднять b на высоту bd, сможет поднять и h на высоту hg, а, следовательно, первое предположение о том, что с подымает b на высоту bd, — неправильно.

Таким же способом, но сокращенно, доказывается и неприемлемость допущения, противоположного первому, — что конец весов опустится, и, таким образом, теорема является доказанной. Это второе, упрощенное доказательство Дюхем считает абсолютно оригинальным и представляющим собой большой прогресс по сравнению с доказательством закона рычага в "Проблемах механики". Закончив это доказательство, автор замечает, что то же самое он говорил уже при введении понятия "gravitas secundum situm" в первой теореме, почему он и пишет, что все указанное выше является прекрасным подтверждением того, что там было сказано, и, наоборот, если действительно глубоко понять то, что там было сказано, то доказательство данной теоремы можно получить и еще более простым путем.

Действительно, если мы возьмем (рис. 18) тот же неравноплечий рычаг bас, на неравных плечах которого помещены неравные веса и подвесим на расстоянии da от точки опоры, равном са (da=ca), вес d, равный b (b=d), тогда вес b относиться к весу d, как радиусы проходимых ими дуг — по первой теореме; но b равно d, поэтому из условия b/c=ca/ba получаем d/c=ca/ba, а ca равно da, отсюда получаем d/c=da/ba или c/d=ba/da, а из сравнения пропорций b/a=ba/da и c/d=ba/da следует, по девятой главе пятой книги Евклида, что веса b и с, будучи помещены по условию, весят одинаково.

В доказательстве этого автор делает как раз ту основную ошибку, против которой он столько раз предупреждает читателя, принимая величины b и d иногда как естественные веса, иногда же как веса "по положению" и путая эти, по его же теории, разные величины. Так, в первой пропорции он принимает веса b и d неравными, ибо рассматривает их "по положению", во второй же он заменяет вес b равным ему естественно весом d, а затем сравнивает эти пропорции. Но именно эти ошибки и, с другой стороны, небольшие размеры данного доказательства делают его особенно характерным для всего метода рассматриваемого нами второго варианта трактата Иордана. Не отрываясь еще ни в какой мере от основной базы аристотелевых формулировок основных законов движения и, так же как в первом варианте, стараясь вывести всю механику из закона естественного движения, автор, в отличие от первого варианта, старается не принять ни одной аксиомы, а доказать все, о чем он говорит.

Второй вариант трактата Неморария — произведение слабое, компилятивное, нестройное, но в то же время обнаруживающее, что феодальная наука впитала в себя все наследие предыдущих эпох, что она постепенно перерабатывала его, создавая нечто свое. Это свое механика западного феодализма обнаруживает и в критике многих положений механики античности, и в образовании новых понятий и представлений; например, в постоянных оговорках о связи веса с плечом можно усмотреть почти полное понимание момента силы по отношению к точке, а в упоминании отношений между силой и сопротивлением в первой теореме и во всем (наиболее неясном) доказательстве восьмой теоремы можно увидеть (и Вайлати и Дюхем действительно это замечают) эмбрион начала возможных перемещений. Но полагать (как это сделано в названных и, вслед за ними, в ряде других исследований), что средневековая западная механика действительно имела в своем арсенале и момент силы и начало возможных перемещений, было бы совершенно не оправданной модернизацией. Средневековая механика переработала механические идеи, созданные другими историческими образованиями, подгоняя их к мироощущению и миропониманию своего времени; при этом, так как социально-политическая структура западного феодального общества была более сложна и генетически более близка к капиталистическому обществу, она в процессе этой переработки научного наследия натыкалась на ряд понятий и представлений, затем вошедших в фонд новой науки. Но, будучи именно по самой сути своей социально-политической структуры глубоко чуждой всякой связи с технической практикой, являясь чисто умозрительной дисциплиной, она еще в большей степени, чем античная наука, была абсолютно лишена критерия истинности формулируемых ею понятий и представлений, лишена того пробного камня, который позволил бы ей отобрать все действительно ценное из ее собственных рассуждений и построить из него новую систему. Связь ее с практикой была поэтому более слабой, чем связь классической античной науки. Последняя, не стремясь дать что-нибудь полезное для техники, все же пыталась включить ее в число основных, подлежащих осмыслению объектов; средневековая наука не делала и этого, ограничиваясь рассмотрением явлений, уже попавших в обиход науки, рассуждая о книгах, а не о реальной жизни.

Если во втором варианте трактата Иордана Неморария с особой яркостью выступают только что отмеченные характерные черты средневековой науки, то в третьем варианте этого же трактата — произведении более сложном и совершенном - они присутствуют не в меньшей мере, хотя, быть может, и не так легко обнаружимы.

Третий вариант трактата Неморария, как и оба предыдущих, возник, несомненно, в XIII в., поскольку лучшие рукописи его восходят к этому времени. Впервые подробно изучивший и изложивший его Дюхем, как мы уже отмечали, счел его столь глубоко отличным от первых двух рассмотренных нами вариантов, настолько более совершенным, что приписал его никому не известному выдающемуся ученому XIII в., которого он назвал "предшественником Леонардо да Винчи". Предположение это мы, вслед за Марколонго, считаем ни на чем не основанным и рассматриваем третий трактат как один из вариантов широко распространенного трактата "De pontleribus". При этом наиболее вероятно, что основным является рассмотренный нами первый, чисто перипатетический текст.

Этот вариант был издан из рукописного наследия знаменитого математика Николая Тартальи в 1565 г. венецианским издателем Курцием Тройаном. Дюхем считает ошибочным мнение, что Тарталья сколько-нибудь переделал первоначальный текст: за исключением громадного числа опечаток и совершенно испорченных в печатном тексте чертежей, последний полностью повторяет текст, даваемый лучшими рукописями XIII в. Однако, ввиду указанных опечаток и ошибок в рисунках, текст печатного издания во многих местах оказывается столь серьезно искаженным, что для понимания его нам приходилось обращаться к тем, к счастью — довольно обширным, отрывкам из рукописей, которые приводят Дюхем и другие исследователи .

Уже самое начало трактата подтверждает принятую нами точку зрения и показывает, что мы имеем дело не с чем иным, как с вариантом трактата "De ponderibus". Начинается он с почти буквальной передачи тех семи аксиом, которые были сформулированы в конце предисловия перипатетического варианта. За аксиомами следуют 33 теоремы, в рукописях разделенные на четыре книги; в печатном тексте это разделение отпало. Первые пять теорем по своим формулировкам почти полностью повторяют формулировки рассмотренных вариантов, только третья теорема поставлена на месте четвертой и наоборот. Затем шестая и седьмая теоремы как неважные выпущены, а они соответствуют восьмой и девятой первых трактатов. Доказательства всех этих семи первых теорем также очень близки к рассмотренным нами доказательствам второго — геометрического — варианта, хотя иногда в них проскальзывают и нотки из доказательства перипатетического, опирающегося на аксиомы, первого варианта. Разумеется, что при наличии аксиом сложные и сбивчивые объяснения понятия "gravitas secundum situm", заключающие первую теорему второго варианта, здесь отсутствуют.

Характерно для данного варианта то, что из трех доказательств закона рычага, имевшихся в восьмой теореме второго варианта, седьмая теорема третьего сохраняет только одно второе доказательство — самое простое и основанное на перипатетическом законе приобретаемого движения, а не на законе движения естественного, т. е. доказательство, совершенно не опирающееся на аксиомы, изложенные вначале, и вообще чуждое всему строю изложения первых двух вариантов. Далее, некоторым (и притом с современной точки зрения немаловажным) отличием доказательства третьего варианта от второго является то, что во второй теореме, трактующей о равновесии равных грузов, помещенных на равных плечах, вместо полных дуг от концов весов до вертикали и горизонтали рассматриваются сколь угодно малые частицы этих дуг; возможность такого рассмотрения только мимоходом затрагивалась во втором варианте. Так (рис. 19), если второй вариант рассматривает и сравнивает между собой дуги с´с и b´b, то третий оперирует с дугами cd и b?.

Этот же, условно говоря, "инфинитезимальный" подход определяет собой и появление в третьем варианте особой оговорки (как нам кажется, неправильно понятой и истолкованной Дюхемом). Оперируя со сколь угодно малыми величинами, автор, естественно, ставит себе такой вопрос: нельзя ли подобрать такие величины b и с, чтобы разница между ними оказалась меньшей, чем разница между дугами опускания этих грузов, и чтобы, следовательно, несмотря на превосходство b, оно не опускалось, а поднималось. На этот вопрос автор самым решительным образом отвечает отрицательно, так как, по его мнению, отношение между углами bсх и bcd, определяющими кривизну опускания двух грузов с и b, est minor qualibet proportione, т. е. меньше любого отношения, т. е. меньше отношения между b и с.

Следуя в первых семи теоремах сравнительно покорно за текстом первых двух вариантов, автор начинает весьма серьезно отступать от них с восьмой теоремы. Теорема эта, близкая к неудачной седьмой теореме первых вариантов, но бесконечно более общая, содержит первую формулировку равновесия коленчатого рычага, на плечах которого, равно отстоящих от вертикали, укреплены разные грузы. Формулировка эта гласит:

"Если неравными будут плечи весов и в центре движения будут образовывать угол, причем концы их будут с обеих сторон одинаково отстоять от вертикали, то такие грузы при таком расположении будут весить одинаково" ".

Пусть (рис. 20) мы имеем коленчатый рычаг CAB, плечо которого СВ короче правого плеча СА и расстояние концов этих плеч, точек В и А, от вертикали СEG, т. е. отрезки BE и GA равны. Требуется доказать, что при этом рычаг будет находиться в равновесии, если на концах А и В будут подвешены равные грузы. Построим из точки С как центра две окружности радиусами СВ и СА; пересечения их с продолжениями прямых BE и AG будут находиться в точках Z и К. Затем отложим C´G=СЕ и из С´ проведем окружность, равную BZ, радиусом СB=С´А. Затем на дуге большего радиуса АК отложим по обе стороны от А равные отрезки АХ и AL, на дуге BZ — равные первым и подобные (сказано equales atque similes; очевидно, имеется в виду: соответствующие тем же углам) отрезки ВМ и ВН и, наконец, на дуге меньшего радиуса АК отложим равные им же отрезки AY и AF, каковые пунктирными линиями соединим с С1. Теперь предположим, что наше утверждение неправильно и что А тяжелее, чем В, и пусть А опустится до Х и В соответственно поднимется на тот же угол до М. Соединим прямыми MZ, KFL и KXY и опустим из М перпендикуляр МР на горизонталь ZB и из F и Х перпендикуляры FD и XT на горизонталь КА. Из равенства треугольников ZMP и KFD вытекает, что МР равно FD; из подобия же треугольников КТХ и KFD получаем, что FD больше XT, а, следовательно, и МР больше XT. Между тем МР есть высота, на которую поднимается В; в предположении, что весы при равных грузах не будут находиться в равновесии и А перетянет, а ТХ — высота, на которую опустится при том же положении А, мы получаем, что из двух равных грузов один поднимает конец рычага на большее расстояние, чем другой опускает, что невозможно. Почему именно это невозможно, трактат не говорит, но из всего контекста ясно, что имеется в виду то же положение, на котором зиждется и доказательство шестой теоремы — положение об обратной пропорциональности весов и проходимых ими расстояний, т. е. аристотелев второй закон движения — закон приобретаемого движения.

Доказательство это, вызывающее восхищение Дюхема и Марколонго и обычно считаемое первым доказательством, вполне четко содержащим в себе понятие момента силы и даже принципа возможных перемещений, кажется нам не вполне убедительным. Доказательство это было бы правильным в том случае, если бы до него была сформулирована аксиома, что при равных весах меньшее опускание не может вызвать большего подъема, обратное же возможно. Но, поскольку мы не найдем нигде даже легкого указания на эту аксиому, нам приходится полагать, что автор имел в виду именно второй перипатетический закон движения, т. е. что доказательство его ошибочно. Ошибочность эта, впрочем, не снимает ни изящества самого доказательства, ни того, что в нем действительно есть какое-то предчувствие начала возможных перемещений, но, как мы уже указывали раньше, предчувствие это было, скорее всего, случайным, и сам автор и его ближайшие научные потомки вряд ли видели здесь какой-нибудь принципиально новый путь .

Нам представляется, что и сам автор трактата чувствовал слабость своей аргументации и предложил именно поэтому два других варианта доказательства .

Доказав, как ему кажется, частный случай равновесия коленчатого рычага, автор переходит к более общим случаям. Девятая и десятая теоремы представляют собой подход к общему решению вопроса — они трактуют о связи веса с наклоном, но которому он движется, т. е. стараются доказать то, что, собственно говоря, было постулировано вводными аксиомами. Девятая, чрезвычайно краткая и лаконическая теорема гласит: equalitas declinationis identitatis ponderis, т. е. при равном наклоне пути, по которому движется вес, величина его не изменяется в зависимости от места пути, на котором он находится. Действительно, пусть какой-нибудь груз движется (рис. 21) по наклонной прямой аb и пусть alc будет вертикаль; требуется доказать, что при движении из d в е или из е в g, при de =eg, gravilas secundum situm движущегося груза не изменяется. Опускаем из е и g перпендикуляры на ас, а из d и е перпендикуляры на eh и gl; из равенства прямоугольных треугольников dke и emg выводим равенство сторон dk и ет, а, следовательно, равные отрезки наклонной имеют равные проекции на вертикальной, eaqualiter capiunt de directo, т. е. груз на этих отрезках равно весит secundum situra.

В этом незамысловатом доказательстве мы опять встречаемся с забытыми в предыдущей теореме аксиомами о gravilas secundum situm и его зависимости от наклона. Но девятая теорема является только вводной к значительно более важной — десятой, формулируемой так: "Если два веса опускаются по двум разным наклонам и наклоны и веса их прямо пропорциональны, то силы опускания (или стремление к опусканию) обоих равны . (рис.22).

Доказательство этой важнейшей для всего последующего развития механики теоремы ведется следующим образом. Возьмем горизонтальную прямую и перпендикуляр к ней в точке b и из точки d проведем две наклонные прямые de и da; пусть de будет более наклонна, чем da, причем под наклонностью понимается длина наклонной при равной проекции на вертикаль, а не угол (majoris obliquitatis proporfcione declinationum dico non angulorum, sed line arum usque ad aequidiatantiam resecalionem, in qua aequaliter sumunfc de directo).

Пусть по наклонной dc движется груз е, а по наклонной da груз h, причем отношение весов их будет равно отношению наклонов в выше принятом смысле, т. е. e/h=dc/da. Требуется доказать, что сила падения этих грузов одинакова. Построим прямую dk по наклону, равную dc, и на ней поместим груз i, равный грузу е. Представим себе, что грузы наши е и h и е и i соединены нитью и что они не находятся в равновесии, т. е. е опустится в / и потащит h в т, причем hm=el, или же, будучи связано с i, потащит i в n, причем in=el.

Опустим из точек n и т перпендикуляры nz и тх на горизонталь ie и из точки е перпендикуляр еr на горизонталь /t. Из подобия треугольников niz, diy и dbk получаем nz/ni=dy/di=db/dk; из подобия же треугольников mhx и dab-mx/mh=db/dk; отсюда получаем mx/nz=dk/da, а так как, по условию i/h=dk/da, получаем mx/nz=i/h. Но мы знаем по предыдущей теореме, что равные веса на равных наклонах равны и что, следовательно, груз е, опускаясь на еr, не может поднять равный ему груз i на nz, а из этого и из нашей пропорции следует, что он не может поднять и вес h на расстояние тх, а следовательно наше предположение неправильно, и грузы е и h, удовлетворяющие условию e/h=dc/da, находятся в равновесии, что и требовалось доказать. И в этом доказательстве присутствует, хотя и в достаточно скрытом виде, как правильно подчеркивает Дюхем, представление об обратной пропорциональности веса и пути, т. е. перипатетический закон приобретаемого движения, и оно, как и предыдущее, не имеет никакой органической связи с аксиомами, сформулированными в предисловии к трактату, и со всем началом его вплоть до седьмой теоремы.

На седьмой теореме кончается первая книга трактата и начинается вторая, являющаяся прямым и непосредственным продолжением седьмой теоремы. Действительно, седьмая теорема, соответствующая девятой теореме первого-второго вариантов, дает первый подход к задаче весомого рычага, или к задаче римских весов. Одиннадцатая теорема, почти в точности соответствующая десятой первого-второго вариантов, дает логически следующее решение задачи, которой занимались авторы трактатов "Книга Карастуна" и "De canonio", — задачи на каком расстоянии надо подвесить на меньшем плечо неравноплечных весов данного веса данный груз, чтобы он уравновесил большее плечо. Следующие затем десять теорем второй книги трактата решают, так же как и одиннадцатая, частные задачи на разные случаи физических и геометрических весов, в которых нужно определить одну величину (длину плеча, вес) из данных других. Приведем для примера формулировку наудачу взятой восемнадцатой теоремы: "Если дано отношение длин плеч и дан груз, подвешенный на конце короткого плеча, или в каком-то другом месте его, или два груза, один в конце, а второй в другом месте, причем грузы эти поддерживают весы в равновесии, то можно определить вес самих весов" .

Все эти одиннадцать теорем совершенно однотипно сформулированы и решаются путем простейших операций над пропорциями, устанавливающими соотношение веса коромысла весов, длин его плеч и грузов, подвешенных на них; они представляют собой полную параллель к рассмотренным нами выше частным задачам на весомые весы, встречающимся в качестве продолжения основного текста во многих арабских текстах "Книги Карастуна", к которым они с большой степенью вероятности генетически и восходят.

Будучи помещены в тексте трактата, как нарочно, рядом с наиболее интересными и глубокими теоремами, имеющими, с нашей точки зрения, большое принципиальное значение, они являются не более чем математическими забавами, головоломками на механические темы, не дающими ничего ни для теории, ни для практики. Это нам кажется разительным подтверждением высказанного выше положения о чисто спекулятивном характере средневековой механики и о невозможности для нее, не опиравшейся на критерий практического опыта, отобрать ценное, даже чисто теоретически, от мелкого и случайного.

Третья книга трактата опять возвращает нас к изложению, как бы оборванному в конце первой книги, к рассмотрению коленчатого рычага и наклонной плоскости. Но теоремы третьей книги подходят к этому вопросу несколько иначе, да к тому же в имеющемся в нашем распоряжении издании Курция Трояна столь радикально искажены, что разобраться в них почти невозможно. Впрочем, и рукописный текст этих теорем, по-видимому, не слишком ясен, так как ни Дюхем, ни Марколонго не дают изложения этих доказательств. Попытаемся все же восстановить хотя бы основные линии этих доказательств.

Первая теорема, по существу, по-видимому, основная (в печатном тексте это questio 23), подходит к задаче коленчатого рычага как будто с совсем новой стороны: она устанавливает, что если на стержне, вращающемся вокруг центра, помещенного На перпендикуляре к этому стержню, в любом месте будет висеть любой вес, то вес этот не сможет повернуть этот стержень и вертикальное положение, или, что то же самое, этот вес не сможет достигнуть вертикали, проходящей через центр вращения. .

Решение этой, как будто частной задачи приводит автора вплотную к формулировке условия равновесия коленчатого рычага. Рассуждает он так.

Мы имеем (рис. 23) находящийся в равновесии стержень abc, вращающийся вокруг точки d, и db — перпендикуляр из этой точки на abc. Теперь предположим, что а тяжелее, чем с, и что под действием а стержень обе наклонится.

Продолжим ad до точки е, отвечающей условию, что de/da=a/c, и поместим в точке е груз, равный с. Тогда для равновесия условно рассматриваемого нами коленчатого рычага edc, на концах которого укреплены равные грузы, необходимо, чтобы вес е так же отстоял от вертикали, как от нее отстоит с, а так как а находится на тон же прямой, что и е, то оно хотя и будет находиться ближе к его вертикали, но все же никогда не совпадет с ней. В приведенном выше доказательстве, с возможной точностью передающем содержание чрезвычайно неясного и, по-видимому, испорченного текста, многое не договорено и непонятно; так, неясно, зачем введена пропорция, непонятно, почему, собственно, а не может достичь db, но основной ход мысли и характер доказательства вполне ясны. Как во второй книге мы имеем ряд частных задач на прямолинейный рычаг, так и здесь имеется частная задача на рычаг коленчатый, задача, свидетельствующая о том, что понятие о моменте сил, т. е. о произведении величины силы на ее расстояние от вертикальной оси, уже вполне освоено автором трактата или, вернее, автором данной его части и что доказательство связанных с этим понятием положений ведется геометрически-алгебраическим путем, особенно ярко проявившимся в последних теоремах первой книги.

Следующие три теоремы (24-я, 25 и 26-я печатного издания) также представляют собой частные задачи на прямолинейный, подвешенный вне своей оси стержень, сводимый к рычагу коленчатому. Так, вторая теорема (24-я) гласит: "Если известно расстояние центра от середины стержня и длина последнего, а также веса, укрепленные на его концах, и вес самого стержня, то можно определить наклон стержня".

Третья теорема (25-я) доказывает, что если центр вращения стержня будет расположен под его осью, то равновесие его будет неустойчивым. Четвертая (26-я) теорема, наиболее непонятная в данной связи, утверждает, что если к находящемуся в равновесии стержню на равных расстояниях по обе стороны оси подвесить любые равные Грузы, то он останется в равновесии. Как сказано ужо, все эти теоремы доказываются путем сведения задания к коленчатому рычагу и являются как бы упражнениями на применение основной теоремы, доказанной в первой книге.

Таким же упражнением, но только несколько более развернутым и более принципиально важным является и пятая теорема третьей книги (27-я печатного издания). Формулировка этой теоремы такова:

"При поднятии любого весомого тела из горизонтального в вертикальное положение, зная длину опоры, можно определить вес (конечно, "secundum situm") поднимаемого тела" .

Доказательство этой теоремы сравнительно длинно и обстоятельно, но, как увидим ниже, оно оказало особенно сильное влияние на Леонардо да Винчи; кроме того, оно не было разобрано ни одним из исследователей. Поэтому мы передадим его ход, по возможности сокращая отдельные детали: .

Пусть мы имеем (рис. 24.) весомое тело ab, равномерное по толщине и по весу, и пусть конец b его будет шарнирно укреплен, а конец а поднимается наверх до вертикального положения bc. При этом конец а будет описывать четверть окружности ее. Разделим дугу ас пополам и получим точку d; при нахождении в ней конца а тело находится в среднем положении между горизонталью и вертикалью.

На нижней половине дуги ас возьмем некоторую точку е, при нахождении в которой конца а он будет подперт длинен перпендикуляра из точки е на ab, т. е. el. На верхней половине дуги ab возьмем точку f, причем df=fc, и пусть fr — длина опоры его. Груз а, поднимаясь по дуге ас от а к с, делается постепенно более легким — "secundum situm". Почему, — здесь не объясняется, но, очевидно, по четвертой и пятой аксиомам, выставленным в предисловии. Конец а, находясь в е, будет весить столько же, как и находясь на радиусе db, но в точке h, являющейся точкой пересечения db, с горизонталью из е, так как hg=el. Если окажется теперь, что g будет находиться в середине ab, тогда опора hg будет поддерживать вес, равный ab, ибо так как угол abd равен 45°, то hg=gb и вес bd в d будет относиться к весу bа в а, как bk/ ba, а вес bd в d к весу того же bd в h, как bg/bk, и, следовательно, bg/bk=bk/ba. Если же g будет находиться ближе к b, то в h будет находиться вес больший, чем в a, и если ближе к а — вес меньший, чем в а, а из этого заключаем, что а может быть меньше, больше или равно величинам е или d в зависимости от величины el, т. е. подпора, и ее соотношения с величиной ab. Если мы теперь возьмем положение bf и точку n — пересечения ее с горизонталью из е — и опустим из f перпендикуляры fx на ось bc и fr на ось bа, то получим, что xb/pb. Кроме того, вес fb в n так относится к весу fb в f, как fb/nb или как fb/mb, а так как xb/pb=rb/mb (по подобию треугольников), то, следовательно, вес еb так относится к весу fb, как вес fb в n к его же весу в f. Следовательно, eb в е весит столько же, сколько fb в n. Ни Дюхем ни Марколонго не разобрали сколько-нибудь подробно этой теоремы, но оба считали, что она является доказательством условия равновесия коленчатого рычага. Однако уже приведенное выше показывает, что это вряд ли правильно. Условия равновесия коленчатого рычага, или (условно выражаясь) понятие момента — обратная пропорциональность грузов и их расстояний до вертикальной оси, скорее предполагаются известными, чем доказываются в данной теореме, задача которой как будто заключается в том, чтобы показать, какая часть веса наклонного стержня находится в его верхнем, подпертом конце, что правильно отметил подробно изложивший теорему Шустер. Задача эта разбирается весьма запутанно и сбивчиво и не получает общего решения, да и формулировка теоремы требует только доказательства того, что вес при любом наклоне может быть определен.

Однако, как вполне справедливо и притом очень тонко отметил Шустер, уже в пропорции, вводимой автором в качестве само собой разумеющейся и не требующей особого доказательства, - пропорции bk/ba, содержится вполне правильное определение нормальной к направлению балки реакции верхней опоры, так как из этой пропорции получаем вес в d = вес ва. bk/db=вес в a. ba/2. cos ? (где ? — угол, образуемый направлением балки с горизонталью), что вполне правильно. Однако это правильное соотношение, которое, казалось бы и должно было служить целью доказательства, удивительнейшим образом принимается как известное и служит базой для сложных и довольно бесполезных размышлений, не приводящих к окончательному выводу.

Но и в такой постановке вопроса самый факт его возникновения исключительно важен и интересен. Представляя собой, невидимому, не более как один из вариантов возможных и весьма разнообразных задач на закон рычага, задач, решавшихся в XIII в. для гимнастики ума и для абстрактного познания абстрактной истины, он в то же время вплотную подводит к новым результатам, могущим при другой общей постановке вопроса оказаться не только теоретически интересными, но и практически применимыми; но дальше подведения вплотную, и притом подведения, хотя и систематического, но все же случайного, дело не идет. Предполагать, что мы имеем уже в данной теореме следы каких-то практических, технических запросов, было бы совершенно неправильно, — слишком резко противоречит этому и весь склад трактата, и особенно самая формулировка теоремы. Что же касается доказательства ее, то оно ведется тем же геометрически-алгебраическим методом, в котором выдержаны все теоремы третьей книги и последние теоремы первой книги трактата, с применением, хотя и случайным и невыдержанным, понятия "gravitas secundum situm".

Последняя теорема третьей книги (28-й в печатном издании) дает, невидимому (она весьма сжата и сформулирована неясно), опять-таки решение одной частной задачи на теорию рычага, задачи, напоминающей первые теоремы второй книги, но применяемой не к весомому прямолинейному рычагу с подвешенным грузом, а к весомому стержню без подвешенных грузов. Текст ее таков: . "Вес, подвешенный не в середине (очевидно, весов), делает тяжелее более короткую часть, согласно отношению более длинной части к ней (т. е. к короткой)".

Теорема (если принять за правильный рукописный текст, а печатный счесть испорченным, что доказано по отношению ко многим местам в нем) оперирует со следующим уравнением для неравно плечного стержня abc (рис. 25): т. е. определяет больший вес, если даны меньший и длины плеч. Доказательство этой теоремы настолько испорчено в печатном тексте, что восстановить его невозможно. Но, независимо от этого, мы в данной теореме имеем то же, что и в предыдущих: решение частного случая, не поднимающееся до общей формулировки, но довольно близко подходящее к понятию момента плечо.

На теореме 28-й кончается третья книга трактата, и изложение его опять обрывается, переходя совсем к другим сюжетам и методам доказательства. Четвертая книга целиком посвящена перипатетическим основам механики. Не формулируя ни одного из законов движения, данных в "Физике" Аристотеля, она дает как бы комментарий к отдельным элементам этих законов и разбирает их составные части, причем разбирает чрезвычайно нестройно, давая им отдельные объяснения, не складывающиеся в цельную систему.

Основными достоинствами аристотелева учения о движении, которым оно обязано своим многовековым существованием, были простота и стройность системы, основанной на немногих простейших пропорциональностях. Пропорциональности эти легли, как мы видели выше, в основу механических построений, разбиравшихся нашим трактатом. Но, по традиции, опираясь во всех или почти всех своих доказательствах на аристотелевы формулировки и на понятие "gravitas secundum situm", - непосредственно из них вытекающее, автор трактата уже настолько привык к более сложным формам физического мышления, что грубо упрощенные перипатетические формулировки его теперь не удовлетворяют. Он начинает разлагать их на составные части, внимательно рассматривать каждую, пытается доказать и обосновать ее, а, следовательно, предполагает возможным и несогласие с ней, чем подрубает тот сук, на котором держится все его учение. Действительно, если при рассмотрении отдельных элементов перипатетических основ механики один или несколько элементов окажутся опровергнутыми, то под все здание придется подводить новый фундамент. Само собой разумеется, что автор нашего трактата этого совершенно не сознает. Он только ясно чувствует недоказанность основных положений аристотелевой механики, составляющих неотъемлемую часть взращенной на другой исторической почве идеологической системы, и пытается дать им доказательства, соответствующие тому критерию научности, который выставила современная ему действительность, радикально отличная от античной.

Доказательства 15 теорем этой четвертой книги не были разобраны ни одним из исследователей, считавших их неважным дополнением к важной работе. Это мнение, однако, вряд ли правильно. Именно в критике, во внимательном и детальном разборе перипатетических основ механики, лежал ключ к ее дальнейшему радикальному развитию, что, очевидно, инстинктивно чувствовал автор, присоединивший, правда довольно внешне и неорганично, свои последние 15 теорем к изложению, принимающему эти основы на веру.

Формулировки теорем весьма кратки и лаконичны. Первые девять из них рассматривают различные стороны воздействия среды на движение весомых предметов, движение как естественное, так и приобретаемое. Так, первая теорема этой группы гласит: "Всякая среда затрудняет движение (omne medium impedit motum)"; вторая — "Чем тяжелее среда, через которую тело проходит, тем труднее опускание (quo ponderosius est pro quod fit transitus, eo in transiundo difficilior fit descen-sus)"; третья — "To, что более плотно, больше поддерживает (quod majus coheret, plus substinet)" и т. д.

В связи со средой излагаются вопросы падения тел разной формы и вопросы ускорения, в этой же связи рассматривавшиеся, как мы упоминали, и Аристотелем. Наиболее важны и интересны здесь теоремы шестая, седьмая и восьмая, которые мы и рассмотрим в качестве образцов. Шестая теорема (в печатном издании 34-я) гласит: "Чем больше опускается предмет и чем он тяжелее, тем более быстрым делается его опускание (res gravior quo amplius descendit eo fit descendendo velocior)".

Доказательство же ее (если это можно назвать доказательством) таково: доказано, что более плотная среда сильнее действует на движение; весомое же тело, опускаясь, тянет за собой верхние слои среды и толкает нижние, вследствие чего в среде распространяется движение, и она меньше препятствует ему, поэтому движущееся тело становится более тяжелым и еще более усиливает то же действие. Так, получается, что тяжесть его, вследствие воздействия верхних слоев, усиливается, и движение его увеличивается этой тяжестью, почему и скорость его должна непрерывно увеличиваться .

Еще более коротко доказательство следующей, седьмой (35-й) теоремы: "Форма весомого тела изменяет силу веса" (forma ponderosi mutat virtutem ponderis)".

Доказательство это буквально следующее: "Ибо если оно остро и тонко, оно легче проходит и потому, можно сказать, легче разделяет (среду) и делается более легким, испытывает меньшее сопротивление и потому летит скорее, чем, если бы оно было тупым".

В таком же духе выдержано и доказательство восьмой (36-й) теоремы. Приведем ее целиком: "Если что-нибудь движется под действием импульса, то ясно, что оно гонимо; если же оно опускается под действием собственного движения (естественно), то, чем больше оно движется, там становится быстрее; поэтому оно становится тяжелее и, следовательно, тем больше гонит движение по сравнению с тем, что было бы без движения, и чем дольше движется, тем больше". Последние пять теорем трактата посвящены разным частным и случайным вопросам вроде того, что "сила, толкающая тело, увеличивается от кружения его" (11—39), или: "то, что укреплено в середине, легче сгибается с краев". Наиболее интересны здесь последние две, гласящие: "более ударенное более плотно" (14—42) и "то, что имеет связанные между собой части, будучи ударено прямым движением, отскакивает по прямой линии". Длинное и достаточно запутанное доказательство последней теоремы основано на разобранных уже нами свойствах сопротивления среды и распространения движения в этой среде.

Даже столь сжатое рассмотрение четвертой книги третьего варианта трактата Иордана показывает нам с полной ясностью и несомненностью, как внимательно и пристально рассматривались отдельные элементы основных положений учения о движении, сформулированных Аристотелем и неоднократно подвергавшихся затем толкованиям и критике со стороны комментаторов (вспомним Филопона), но все же оставшихся в своих основных чертах незыблемыми. С другой стороны, мы в самом этом внимательном рассмотрении должны констатировать отсутствие какой бы то ни было единой системы — беспорядочный эклектизм, свидетельствующий о том, что автор, чувствуя необходимость пересмотра перипатетических основ механики, еще не ясно видит позиции, с которых эта переработка должна вестись. Действительно, утверждая в шестой (34-й) теореме, что ускорение свободно падающего тела должно быть объяснено, усиливающимся разрезыванием и давлением среды, он, несколько видоизменяя его, переносит на естественное движение то объяснение, которое Аристотель давал движению приобретаемому (передача движения через постепенно приходящие в движение слои воздуха). В восьмой же (36-й) теореме, утверждающей, что каждое движение увеличивает движение, уже существующее, автор как будто бы определенно становится на точку зрения выдвинутой Иоанном Филопоном теории "импето" — ускорения движения, вызываемого самим движением. Вся эта последняя часть трактата свидетельствует о том, что настало время систематического пересмотра самых основ механики. Действительно, как мы увидим ниже, этот пересмотр является одной из наиболее распространенных тем, разрабатываемых физически- философской мыслью позднего феодализма, чем подготавливается почва для радикальной перестройки всего здания механики.

Однако, прежде чем рассмотреть эту критику, мы попытаемся дать краткую характеристику рассмотренных нами трех вариантов трактата, приписываемого Иордану Неморарию. Первый, наиболее стройный и монолитный, представляет собой попытку вывести всю механику из нескольких аксиом, базирующихся исключительно на данном Аристотелем законе естественного движения; по методу доказательств он носит физическо-философский характер. Второй, значительно более эклектичный и нестройный, старается вообще отказаться от аксиом, Доказать все, кроме, конечно, основных законов движения, причем, основываясь, как и первый, главным образом на законе естественного движения, он иногда использует и закон движения приобретаемого. Доказательство этого варианта носит подчеркнуто геометрический характер. Наконец, третий вариант наиболее эклектичен и составлен из наиболее разнородных частей. Начинаясь с аксиом, базирующихся на законе естественного движения, он затем переходит к доказательствам, совершенно (или почти совершенно) с этими аксиомами не связанным, доказательствам иногда блестящим, но совершенно выпадающим из построения. Решая ряд чрезвычайно разнокалиберных частных задач, он завершается попыткой пересмотра лежащего в основе его учения о движении. Метод доказательства его в основном алгебраическо- геометрический.

Все эти три варианта как своими общими чертами, так и различиями дают возможность познакомиться с различными путями, по которым шло в средние века освоение античного и арабского механического наследия; каждый из этих путей по-своему перерабатывает это наследие, либо, пытаясь выстроить из его материала новую стройную систему, либо, наоборот, разрабатывая отдельные элементы его, приходящие в результате в резкие противоречия друг с другом. Последний путь, более трудный, изобилующий разного рода лабиринтами и ловушками, был, конечно, более прогрессивным, обещающим большее будущее.

К сожалению, мы, при современном состоянии науки, не можем определить, каков был исторический субстрат этих разных направлений в феодальной механике. Мы можем только высказать ничем не подкрепленное предположение о том, что первое, условно выражаясь — конструктивное, направление было выражением чаяний и идеалов более консервативных, более строго феодальных слоев университетской и монастырской науки. Направление же критически-разрушительное было выражением идеологии передовых университетских кругов, связанных с начинающими формироваться в крупных городах раннебуржуазными элементами. Правильна ли эта гипотеза или нет, должно будет показать дальнейшее изучение вопрос но, во всяком случае, неоспоримо то, что в каких-то слоях средневековой европейской науки уже с XIII в. началась критик самих основ античной науки, и в частности механики. Само собой разумеется, что, поскольку основы эти были наиболее полно и выпукло сформулированы Аристотелем, критика эта должна была начаться и действительно началась с изучения и комментирования его "Физики" и "О небе", в которых эти основы были наиболее четко сформулированы.