ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕХАНИКА - ГЛАВА 2. ФЕОДАЛИЗМ. § 3. КОHКРЕТHАЯ МЕХАHИКА И ТРАКТАТЫ ИОРДАHА НЕМОРАРИЯ

Произвести коренную переработку античного научного наследия, вырастить корни новой науки было суждено западноевропейскому феодализму, возникшему на другой почве, более медленно и постепенно, а потому, может быть, и более органически развивавшемуся.

Если мы попытаемся сравнить науку раннего западного феодализма с наукой арабской, то мы убедимся в том, что между ними имеется немалое сходство. Мы встретим здесь то же стремление создать собственное научное мировоззрение при недостаточном импульсе к коренной переработке всего завещанного предыдущими культурами, результатом чего является использование основных понятий и формулировок, заимствованных у античной науки, и приспособление их — путем комментариев, иного расположения материала, новых акцентов — к новым вкусам и запросам. Мы встретим ту же суховатую и абстрактную игру логическими категориями, как бы заимствованными из античной науки, но приобретающими совсем иные смысл и значение. Мы встретим, наконец, то же непонимание сути всей античной науки и элементы алгебраизации — правда, выраженные значительно менее ярко, чем в арабской науке.

Феодализм создавал научные построения, наиболее адекватные своим запросам, но самый характер этих запросов был таков, что на их почве не могли вырасти основы новой науки. Глубокий разрыв между правящей верхушкой и основным производительным населением не давал возможности и не требовал создания системы, основанной на философском осмыслении природы, ее явлений и законов, — системы, подобной той, которую создала античность. Он требовал в первую очередь анализа, отражения, оправдания нового социального порядка, создавал религиозно-этические системы вместо систем естественно-научных. Но и в рамках этих, в основном религиозно-этических построений познание внешнего мира оставалось обязательным и необходимым. На Западе оно находило свое отражение в наивных, и неуклюжих компиляциях энциклопедий Исидора Севильского, Рабана Мавра или длинной цепи последующих сочинений аналогичного характера; оно сколачивало из осколков античного научного здания хижину по своему вкусу, по своим потребностям. Но напрасно мы стали бы искать в этих своеобразных пестрых фолиантах хотя бы упоминание о механике. Теоретическое осмысление технических процессов, лежащее в основе всей античной механики, было еще глубоко чуждым новой обстановке, новой культуре, вполне довольствовавшейся элементарными сведениями о явлениях наиболее простых.

Механика начинает пробивать себе дорогу в научной литературе западного средневековья только тогда, когда в научном обиходе появляются переводы произведений античной науки и арабских трактатов. Нам неизвестно точно, когда именно и где были переведены псевдоаристотелевы "Проблемы механики", но, во всяком случае мы знаем, что в первой половине XIII в. император Фридрих II, поклонник и пропагандист античной и особенно арабской науки, в своем трактате "De arte venandi cum avibus" ("О соколиной охоте") цитирует "Проблемы механики", называя их "Liber de ingeniis levandi pondera" . Отсюда как будто следует, что к этому времени они имелись либо в латинском, либо в арабском, либо в еврейском переводе и были более или менее широко известны европейской науке.

Выше мы изложили три приписываемых Евклиду отрывка по механике, составляющих, по мнению Дюхема, единый античный трактат. Первый и третий из этих отрывков дошли до нас только в латинских переводах. Не подлежит почти никакому сомнению, что доказательства - примеры в отрывке "De gravi et levi" — продукт средневековой, а не античной науки, причем как истоки, к которым ведет рукописная традиция, так и самый характер изложения указывают с большой степенью вероятности на XIII в. как на время составления этих переводов-переделок. Подробно разобранный нами трактат "Книга Карастуна" Табита Бен-Курры, дошедший до нас в рукописях не старше XIV в., по-видимому, был переведен значительно раньше, возможно, в конце XII в., знаменитым переводчиком Гергардом Кремонским . Правда, тонкие и замысловатые доказательства наиболее важных теорем трактата не были понятны переводчикам или переписчикам. Поэтому, пользуясь латинским переводом, приходится просто отказываться от возможности разобраться в содержании текста, местами пересказанного, а кое-где переданного слово за словом без проникновения в смысл передаваемого. Но факт широкой распространенности рукописей перевода и постоянное упоминание о трактате в средневековых научных произведениях доказывают, что трактат Табита Бен-Курры, хотя и не понятый до конца, усиленно читался и чем-то чрезвычайно импонировал. Это обстоятельство особенно бросится в глаза, если мы примем во внимание, что в XIII в. Вильгельм Мербеке переводит уже все основные сочинения Архимеда, в том числе и "Равновесие плоских тел", и что, несмотря на это, трактат Табита остается значительно более популярным. Явление это, вне всякого сомнения, не случайно. Оно закономерно вытекает из специфического подхода к материалу западноевропейской феодальной науки, который ясно предстанет пред нами, когда мы всмотримся в переделки и искажения, которым подвергались античные и арабские сочинения по механике со стороны латинских переводчиков.

В качестве первого примера такой переделки может быть приведен уже названный нами выше латинский перевод приписываемого Евклиду отрывка "De gravi et levi". Отрывок этот состоял в своем античном прототипе из нескольких аксиом, на которых затем строились все дальнейшие доказательства. К средневековому переводчику отрывок, может быть, попал уже отделенным от некоего целого. Не поняв всего стиля строгого античного доказательства с его немногими не доказываемыми аксиомами и постепенно выводимыми из них теоремами, он превратил формулировку нескольких аксиом и следствий из них в самостоятельный трактат, снабдив некоторые из аксиом и следствий чем-то вроде доказательства в виде наглядных примеров, которые, впрочем, мало что доказывают. <.P>

Так, например, констатация: "Если из двух тел одного и того же рода одно будет в несколько раз больше другого, то и сила его будет во столько же раз больше" , очевидно восходящая к античному прототипу,

He понимая не только самого построения системы доказательств, но и строго геометрического доказательства как такового, схоласты заменяют его наглядным примером. Отказываясь при этом от принятой античной механикой системы, они, с одной стороны, значительно снижают уровень научного доказательства, сводя его до грубо эмпирической констатации ; с Другой стороны, они обнаруживают способность к абстракции, может быть более высокого калибра, но принципиально иной, проявляющейся в стремлении установить связь между различными величинами путем изображения их в виде отрезков прямых. Так, в нашем примере отрезками прямых изображаются величина тела (или его вес) и сила, вызывающая определенное движение.

Путь этот, приведший затем к трудам Николая Орезма , очевидно более отвечал всему умонастроению феодализма с его динамически-иерархическим мышлением, чем статический геометризм античной механики.

Специфичный подход средневековья к осваиваемому источнику сказывается в переводе арабской "Книги Карастуна" Табита Бен-Курры (XII—XIII вв.) не менее ярко, чем на примере античного текста. Первое, что мы здесь встречаем, это отмеченное выше и характерное, особенно для ранней схоластики, введение числовых примеров. Так, если арабский текст дает отвлеченную формулировку аксиомы, например изложенной нами выше первой аксиомы, то латинский переводчик прибавляет: "Приведу к этому пример. Скажу — из двух путников один проходит 30, а другой 60 миль в одно и то же время..." и т. д. . Но переводчик не довольствуется вставкой примеров; он переделывает трактат и не столько переводит его, сколько пересказывает, сокращая текст, сохраняя лишь основные его части и выпуская добавочные теоремы и следствия. При этом он не замечает, что пропуск отдельных доказательств или частей их делает необоснованными следующие за ними и базирующиеся на них в арабском тексте положения. Пересказывает переводчик своими словами также наиболее сложные и основные теоремы трактата: о замене двух равных грузов на плече весов равным им и помещенным в середине между ними и о замене весомого стержня, помещенного на плече весов, равным ему весом, укрепленным в середине его. При этом как алгебраическое доказательство первой теоремы, так и геометрическое — второй оказываются слишком трудными для понимания переводчика, который, правильно передавая мысли, делает грубейшие ошибки в отдельных элементах доказательства. Но эти ошибки не вытекают, как можно было бы предположить и как обычно утверждается, из безграмотности переводчика или переписчика.

Причина ошибок заложена более глубоко. Переводчик, не удовлетворенный слишком большой, часто нарочитой сложностью доказательств арабского трактата, его несомненным и столь характерным для а рабской науки вообще любованием тонким кружевом мысли, отвлекающим его от непосредственной сути дела, пытается во что бы то ни стало упростить доказательство, найти более прямые пути, приводящие к тем же результатам. Но так как при этом он не хочет отступать и от основного ход мысли подлинника, то неизбежно впадает в ошибку. Особенно ярко это видно на примере второй из названных выше теорем являющейся центральной частью всего трактата. Пытаясь сначала следовать за мыслью автора и итти, подобно ему, путем приведения к абсурду, переводчик уже в середине очень длинного и сравнительно сложного доказательства переходит к прямому методу, чтобы в конце опять вернуться (совершенно нелогично) к тексту подлинника

Но одним только переводом-переделкой трактата Табита Бен-Курры западная наука не ограничивается; она пытается продолжить его, дополнить в желательном для нее направлении. В рукописях, содержащих трактаты по механике, уже начиная с XIII в., встречается наряду с другими сочинениями и фрагментами небольшой трактат "De canonio". Описавший, но, к сожалению, не издавший этот трактат Дюхем считает его переводом эллинистического сочинения; мы, по ряду соображений, считаем его, несомненно, средневековым, причем, как справедливо указал Дюхем, не прошедшим через арабскую науку, а самостоятельным

При этом автор рассуждает следующим образом: "Пусть (рис. 11) ab — коромысло весов и g — точка подвеса их. Отделим на большем плече gb часть gd, равную меньшему плечу ga, и из точки d восстановим перпендикуляр к ab, длина которого de будет равна длине остатка большего плеча bd. Соединим затем точки аe и продолжим линию ае до пересечения с перпендикуляром к ab в точке b; тогда длина аz будет искомой длиной, что легко определяется из доказанной в первой теореме формулы подобия треугольников abz и ode.

Найдя же столь легкий графический способ определения длины плеча, равной по весу грузу, уравновешивающему излишек большего плеча, автор применяет его для нахождения точки подвеса при известном постоянном грузе, т. е., пользуясь формулой, выведенной для римских весов с неподвижной точкой подвеса, подходит к способу определения веса на безмене с перемещающейся точкой подвеса.

В приведенном выше доказательстве мы встречаемся с той же тенденцией, которую мы отмечали, говоря о переводах трактата "De gravi et levi" и трактата о "Карастуне", — с тенденцией переосмыслить переводимый или комментируемый текст, подать его так, чтобы он больше отвечал вкусу окружающе комментатора или переводчика действительности. Но не только тенденция переделки роднит "De canonio" с ранее рассмотренным средневековым материалом, а и самые пути этой переделки. Не чувствуя и не понимая всего построения античной механики и специфики ее доказательств, схоласты вырывают их из общей связи, рассматривая каждое из них в отдельности, и создают столь узко монографические трактаты, как "De canonio". He-понимая замысловатого, но по-своему также весьма стройного алгебраического доказательства арабов, схоласты стремятся упростить его. При этом, обладая довольно изощренным логическим аппаратом и привычкой к весьма абстрактному мышлению, развившейся при выработке своеобразной иерархически теологической картины мира, они пытаются найти новые формы доказательства, менее, по их мнению, искусственные, более легко приводящие к результату. На этом пути они находят ряд новых элементов, примером каковых может служить хотя бы примененный весьма удачно в "De canonio" способ графического изображения непротяженных величин (веса), приводящей к быстрому решению довольно сложной задачи.

Однако все рассмотренные выше переделки и переводы сочинений античности и магометанского мира являются только, подготовительными этапами к созданию оригинальных произведений, в которых специфические черты уже вполне зрелой феодальной научной мысли выступают с наибольшей ясностью, Таковы относящиеся, очевидно, к концу XIII в. механические произведения, широко распространенные в течение двух следующих веков и приписываемые Иордану Неморарию.

Несмотря на исключительно тщательные и хитроумные розыски и домыслы Дюхема, до сего времени не удалось сколько-нибудь достоверно установить, где и когда жил этот ученый, оставивший после себя ряд интересных математических сочинений и в числе их трактаты по механике, представляющие собой высшую ступень, которой средневековая схоластическая наука Достигла в области разработки конкретных вопросов этой науки.

Проблема литературного наследия Иордана Неморария представляет собой сложную и запутанную проблему не только потому, что сам автор абсолютно неизвестен, но главным образом оттого, что он считался создателем нескольких произведений, рассматривающих один и тот же вопрос, но глубоко между собой различных. Произведения эти можно условно разбить на три группы, причем Дюхем считает, что собственно Иордану принадлежат только трактаты первой группы, наиболее короткие и отличающиеся, как мы увидим ниже, рядом серьезных ошибок. Трактаты второй группы он считает вышедшими из-под пера другого, уже совершенно, даже и по имени не известного автора и представляющими собой перипатетическую переделку оригинального трактата Неморария. Наконец, трактаты третьей группы, наиболее подробные и стоящие на наибольшей научной высоте, он приписывает третьему автору, которого он называет "предшественником Леонардо да Винчи" ввиду значительного числа совпадений между этим трактатом и сочинениями Леонардо. При этом, по его мнению, большая часть последнего трактата восходит к античности , к каковой Вайлати, не делающий вообще никакого различия между редакциями, относит их все . Значительно проще объясняет наличие этих резко друг от друга отличающихся, но приписываемых Иордану трактатов Р. Марколонго , считающий оригинальным текстом Иордана последний, приписываемый Дюхемом мифическому "предшественнику Леонардо да Винчи", а два других варианта — искажениями, вышедшими из мастерских малограмотных писцов, не понявших довольно сложного текста переписываемого сочинения и потому переделывавших его в меру своего понимания предмета. Разумеется, что в пределах настоящей работы мы не имеем возможности заниматься разрешением столь сложного и запутанного вопроса, как филиация трактатов, приписываемых Иордану, да для нашей цели этот вопрос и не имеет серьезного значения. Считая наиболее правдоподобной гипотезу Марколонго, мы, однако, полагаем, что самый факт параллельного существования в рукописной традиции трех вариантов трактата, читавшихся и переписывавшихся самостоятельно и притом восходивших к XIII в., говорит о том, что, независимо от вопроса авторства, они могут и должны рассматриваться как самостоятельные произведения, сыгравшие очень значительную роль в развитии механики. Неопровержимым, как нам кажется, подтверждением этого является то, что все три варианта были изданы уже после изобретения книгопечатания, в печатном виде, в XVI в.; при этом первые два варианта — текст, приписываемый Дюхемом собственно Иордану, и текст так называемого "перипатетического комментария" изданы Петром Аппианом в 1533 г. , а последний, извлеченный из рукописного наследия крупнейшего математика и механика XVI в. Николая Тарталья, с добавлением некоторых других материалов издан Курпием Троайном в 1565 г. .

Пользуясь названными выше изданиями и, насколько возможно, отделяя в первом из них один текст (по Дюхему — текст Иордана) от второго (по Дюхему — "перипатетического ком- ментария"), мы изложим один за другим, по возможности кратко, все три трактата, известные под именем трактатов "De ponderibus" и приписываемых Иордану Неморарию.

Выше мы видели, что в средневековом обиходе находились следующие произведения, посвященные специально механике: псевдоаристотелевы "Проблемы механики", целиком основанные на перипатетическом учении о движении; приписываемые Евклиду отрывки, первый из которых — трактат "De gravi et levi" представляет собой развитое положение перипатетического учения о движении, и, наконец, "Книга Карастуна", как мы показали, также базирующаяся на том же учении. Естественно поэтому, что средневековая механика в своих оригинальных сочинениях пошла по тому же пути, т. е. начала строить свое здание на основных формулах движения, заимствованных из "Физики" Аристотеля.

Второй из перечисленных нами выше вариантов, трактат Иордана Неморария, названный Дюхемом "перипатетическим комментарием" к основному тексту Иордана, и представляет собой попытку построить всю механику исключительно на законах движения, установленных Аристотелем. При этом мы отнюдь не считаем неправдоподобным предположение, что именно "перипатетический комментарий" является первичной, основной формой трактата, а не переделкой, как утверждает Дюхем.

Трактат начинается с предисловия, в котором устанавливается, что наука о весе (scientia de ponderibus) подчинена как геометрии, так и натуральной философии, почему в ней надлежит пользоваться как геометрическими, так и физическими доказательствами. Уже из этого начала, чрезвычайно сильно напоминающего начало "Проблем механики", явствует, что последнее произведение является прототипом трактата. Затем следует изложение ряда основных положений, на которых базируется все дальнейшее изложение. Первое, второе и третье из этих положений, напоминающие по ходу мысли "Книгу Карастуна", гласят: 1) плечо весов, опускаясь, описывает дугу окружности, радиус которой всегда равен длине плеча; 2) в одной и той же окружности большая дуга более закруглена, чем меньшая, и, наоборот, в разных окружностях из разных дуг больше закруглена меньшая; 3) вес на весах тем легче, чем больше он опускается по дуге. На этой основе вводится понятие веса по положению (gravitas secundun situm), во всем дальнейшем изложении являющееся основным. Объяснение связи веса и дуги, по которой он движется, в точности повторяет объяснение "Механических проблем", т. е. сводит движение конца весов по дуге к взаимодействию двух сил — естественной, направленной вниз, я насильственной, направленной по радиусу. Затем следуют пространные рассуждения о весе и движении, после чего идет заключение, которое мы считаем настолько важным, что приводим его полностью:

"После того как это разъяснено, следуют положения книги о весах; называются же они положениями потому, что этой наукой они не должны доказываться, но принимаются; доказательства же некоторые из уже приведенных вообще не имеют, как это выяснится позже. Таких положений имеется семь. Первое: движение всякого весомого тела направлено к середине (мира, т. е. земли). Второе: чем тяжелее, тем скорее падение. Третье: тяжелее при падении настолько, насколько движение к середине прямее. Четвертое: по положению тяжелее настолько, насколько на том же расстоянии опускание менее наклонно. Пятое: более наклонное падение менее берет от прямой при том же количестве. Шестое: одно менее тяжело, чем другое, по положению, настолько, насколько опускание второго происходит в обратном направлении. Седьмое: горизонтальное положение есть положение равноотстояния от горизонта. Все это достаточно ясно из вышесказанного, почему можно перейти к предложениям, которые называются предложениями потому, что они предлагаются, чтобы быть доказанными. Их имеется тринадцать" .

В изложенном отрывке предисловия содержится implicite весь трактат. Характерно, во-первых, здесь то, что автор строго различает не подлежащие доказательству аксиомы, которые он и формулирует, от подлежащих доказательству теорем, составляющих собственно содержание трактата. Это свидетельствует уже о значительно более высокой математической культуре, чем отмеченная нами в рассмотренных выше переводах-переделках. В самых аксиомах для нас важно и характерно то, что в них все движение на весах сводится к формуле естественного движения — пропорциональности между скоростью и весом (первая аксиома), как это сделано и в "Проблемах механики", а не к формуле движения приобретаемого, как в приписываемых Евклиду отрывках и в "Книге Карастуна". Основными для всего дальнейшего изложения являются аксиомы третья — четвертая, почти однозначные, и пятая. Аксиомы эти устанавливают, во-первых, что тело тем тяжелее, чем менее наклонно его движение; во-вторых, что более наклонное движение, будучи спроектировано на вертикальную прямую, занимает на ней меньший отрезок, чем менее наклонное движение той же длины. Из этих двух аксиом легко выводится все дальнейшее.

В своей совокупности аксиомы формулируют то понятие "тяжести по положению" ("gravitas secunduin situm"), введение которого в механику и составляет отличительную черту всех сочинений, приписываемых Иордану. Понятие это отнюдь не должно смешиваться с понятием собственно тяжести, естественной тяжести любого тела: оно обозначает изменения, которые при том или другом движении претерпевает естественный вес тела, т. е. приобретает смысл и оправдание только при рассмотрении движений. Впрочем, как сказано в предисловии трактата, оно может быть распространено и на случаи покоя, ибо покой есть, собственно говоря, предельный случай движения. Дюхем и за ним ряд последующих историков науки считают введение понятия "gravitas secundum situm" крупным прогрессивным шагом. Мы же серьезно сомневаемся в правильности этого утверждения. Понятие это, во всяком случае в том виде, в каком оно встречается в первых двух вариантах трактата Неморария,. представляется глубоко искусственным и выдуманным "ad hoc", как переходное звено между конкретными теоремами механики и формулировками законов движения, данными Аристотелем; оно обеспечивало стройность всего доказательства, но не соответствовало ничему реальному.

Первые теоремы являются не чем иным, как развернутой формулировкой некоторых аксиом . Так, первая формулирует несколько более полно утверждение первой аксиомы о пропорциональности скорости движения вниз весу, утверждая, что между скоростями двух движущихся в одном направлении тел существует та же пропорция, что и между весами, а между скоростями двух движущихся в противоположном направлении тел — пропорция обратная. Вторая теорема доказывает, что при помещении на весах, находящихся в горизонтальном положении равных грузов (о равных плечах не говорится ничего), весы не выйдут из горизонтального положения, а если будут выведены, то вернутся в него. Первая теорема в своих обеих частях совершенно явственно следует из первой аксиомы; вторая же теорема в своей первой части вообще не доказывается — говорится просто "primum patet quia sunt aeque gravia", во второй же части сводится к четвертой аксиоме, ибо, если вывести (рис. 12) весы bс в положение b´c´, каждый из грузов b´ и с´ будет стремиться вниз, а так как груз с´ будет пускаться по кривой менее наклонно, чем груз b´ (из двух дуг равного радиуса та более наклонная, которая длиннее), весы вернутся в первоначальное положение горизонтальности.

Третья теорема, подобно второму псевдоевклидову отрывку доказывает, хотя и совсем другим методом, что разные длины подвесов не влияют на равновесие весов. в собственном смысле слова здесь отсутствует и заменено просто отсылкой ко второй аксиоме. Доказывается теорема так: если будет движение в одной стороне, следовательно другая сторона менее тяжела по второму положению, — но принято, что веса подвешенных (грузов) равны, следовательно доказано то, что искалось .

Лаконической отсылкой к четвертой аксиоме доказывается и четвертая теорема, гласящая, что если любой груз опускается в любую сторону, то он становится более легким "по положению".

Пятая теорема, повторяя одну из аксиом Архимеда доказывает, что при равных весах на неравных плечах более длинное плечо будет опускаться. Доказательство опять сводится к построению на плечах, как на радиусах, частей окружности, причем большее плечо будет описывать большую окружность, а так как при разных радиусах дуга большего радиуса прямее, а на более прямой дуге груз "по положению" тяжелее по третьей аксиоме, то теорема доказана. Точно таким же рассуждением доказывается и шестая теорема о том, что если грузы равно весят (очевидно, "по положению") на неравных плечах весов и более отдаленный приблизить к центру, то он станет легче "по положению".

Особое значение для нашей темы и для развития механики имеет седьмая теорема. Мы видели, что уже Герон, по-видимому, совершенно не известный в XIII в., ставил и правильно разрешал вопрос о равновесии криволинейного рычага; этот вопрос получил правильное решение и в одной из вставных теорем "Книги Карастуна". Теорема, правда, не вошла в латинские переводы и потому также, по-видимому, или совершенно не известна западной науке XIII в. или мало распространена в ней. Иордан ставит по существу тот же вопрос совершенно иначе. Он спрашивает, каковы будут условия равновесия на равноплечих весах, один из подвесов которых будет свободно вращаться вокруг точки своего укрепления, а другой неподвижно соединен с этой точкой, причем на концах подвесов будут укреплены равные грузы. Отвечает он так: груз, укрепленный на подвижном подвесе, будет более тяжелым "по положению", так как вследствие отклонения подвеса он будет описывать большую окружность.

В разборе трех вариантов трактата Неморария Дюхем, старающийся всеми возможными средствами опорочить первые два и выхвалить третий, считает это утверждение неправильным со всех точек зрения, ибо рассматриваемый здесь Неморарием случай сводится к равновесию криволинейного рычага: если подвес bd (рис. 13) будет свободно вращаться, а подвес се будет неподвижно укреплен под прямым углом к плечу ас, то плечо ас и подвес се могут быть заменены плечом ае, направленным под определенным углом к первоначальному направлению плеча, а криволинейный рычаг, концы плеча которого одинаково удалены от вертикали, Проведенной через точку опоры, будет находиться в равновесии. Однако критика Дюхема основана на обычной для него модернизации рассматриваемого сочинения. Неморарий не сомневается, по-видимому, в том, что весы в том положении, как они изображены на чертеже, находятся в равновесии, но, как мы это видели выше, он, вполне последовательно строя все свои доказательства на аристотелевых законах движения, рассматривает все случаи равновесия на весах, находящихся в движении вокруг точки опоры. При таком рассмотрении приведенное утверждение оказывается правильным для случая подъема плеча весов, на котором укреплен подвижной подвес, и неправильным для обратного случая, так как при подъеме плеча аb груз d окажется действительно дальше от вертикали, проведенной через а, чем груз е, и равновесие на весах нарушится. Таким образом, для некоторого частного случая решение, данное трактатом, было правильным, а приводимое затем разъяснение ("Это предложение было выдумано по случаю некоего опыта, произведенного для доказательства второй части") с несомненностью говорит о том, что автор и имел в виду некий частный случай. Дальше же (возможно, что это и есть названная выше "pars secunda") чрезвычайно испорченный в печатном издании текст доказывает, по-видимому, что если оба подвеса вращаются, то при любом повороте весов равновесие в них не изменится, и грузы на них будут весить равно "по положению".

Восьмая теорема является, собственно говоря, центральной — она доказывает закон равновесия неравноплечего рычага и формулируется так: "Если плечи весов будут пропорциональны подвешенным грузам, так чтобы на более коротком висел более тяжелый, то они будут равно тяжелы по положению" .

Доказательство и здесь ведется тем же путем, что и во всех приведенных выше теоремах: если грузы обратно пропорциональны длинам плеч, а последние являются радиусами окружностей, по которым они движутся, то груз, помещенный на большем плече, будет "по положению" ровно настолько же тяжелее груза, помещенного на меньшем, насколько это большее больше меньшего. Следовательно, если мы хотим добиться равновесия, мы должны взять настолько же меньшим естественный вес груза, помещенного на большем плече, по сравнению с естественным весом груза, помещенного на меньшем.

На восьмой теореме, очевидно, и кончается основной текст трактата "De ponderibus". Следующие пять теорем печатного и многих рукописных текстов составляют рассмотренный выше трактат "De canonio", причем к четырем из них ради симметрии вначале присоединены подобия вторых доказательств, долженствующие связать их с вышеприведенными, доказываемыми строго перипатетически восемью основными теоремами. Доказательства эти совершенно неубедительны, чисто формальны, а для основной теоремы, рассмотренной нами подробно выше, и вполне отсутствуют, из чего, равно как и из самого характера текста, с несомненностью явствует гетерогенность трактатов "De ponderibus" и "De canonio", которые автор дошедшего до нас во многих списках варианта трактата Иордана Неморария довольно искусственно соединил, желая создать значительное сочинение по механике.

Таким образом как самостоятельное целое тот вариант трактата Неморария, который Дюхем считает лишенным всякой научной ценности перипатетическим искажением основного текста, мы склонны считать если не обязательно первым и основным (для этого мы не имеем достаточных доказательств), то, во всяком случае, исключительно ценным и характерным для схоластической механики XIII в.

Действительно, мы видели, что в основе всех механических систем античности и арабского феодализма лежали формулы движения, данные в "Физике" Аристотеля и, очевидно, принадлежавшие к незыблемейшим общим представлениям, существовавшим в течение всего этого времени. В средневековую же традицию вошли именно те сочинения, в которых эта перипатетическая струя была выражена наиболее ярко, т. е. "Проблемы механики", приписываемые Аристотелю и построенные именно на его законах движения — псевдоевклидовы отрывки, первый и наиболее распространенный из которых являлся просто развернутым комментарием к одному из этих законов, и, наконец, "Книга Карастуна", на ярко перипатетический характер которой мы указывали. Участник создания феодального мировоззрения, идеалом которого било построение картины мира, полностью соответствующей той социально- политической структуре, к которой шло, но которой никогда не достигало феодальное общество, — картины мира, нашедшей себе наиболее полное выражение в эманационно-иерархической схеме мироздания, феодальный ученый старался, согласно всей направленности своего сознания, создать и систему механики, отвечающую тем же требованиям. Он не удовлетворяется наличием в фундаменте механики двух основных формул — формулы для движения естественного и формулы для движения приобретаемого, а старается свести все к первой, причем для облегчения этого сведения вводит понятие "тяжести по положению", сокращенно формулирующее данное "Проблемами механики" представление о взаимодействии двух сил, и из одной формулы и понятия "тяжести по положению" с безукоризненной логичностью выводит все известные к его времени законы механики. Как геометрический подход античных механиков, так и алгебраизация, внесенная арабами, ему чужды. Он подходит к предмету, как физик и активный борец за то метафизически-теологическое мировоззрение, которое в XIII в. приобретает свои классические формы. Так, казалось бы, в отвлеченнейшем произведении отвлеченнейшей из когда-либо существовавших наук, в конечном счете сказывается вызвавшее его к жизни общество. Сквозь строки сухой латыни можно чутким ухом услышать и шум двора рыцарского замка, и звон колокольни удаленного от мира монастыря, и унылую песню крепостного крестьянина, тянущего безнадежную лямку пожизненного, монотонного, полуживотного труда.

Второй вариант трактата "De ponderibus", который Дюхем, как уже сказано выше, считает первым и единственным вышедшим из-под пера Иордана, мы находим напечатанным в том же издании Петра Аппиана, где помещен и только что изложенный, За каждым доказательством теоремы после слов "sequitur aliud commentum" следует доказательство второго (или, по Дюхему, первого) трактата. Доказательства эти, по Дюхему - ясные, в дальнейшей рукописной традиции значительно усложняются и запутываются; в издании же Аппиана они усложнены еще более, чем в худших из рукописей, и судить по этому изданию о свойствах первоначального оригинала можно только с большой осторожностью.

Однако, ввиду того, что в нашу задачу отнюдь не входит анализ творчества Иордана как такового, и так как усложнение трактата шло в направлении, имманентно заложенном уже в оригинале, только ярче подчеркивая и выявляя его основную тенденцию, искажения первоначального текста не окажутся помехой в нашей работе.

Тенденция второго из разбираемых нами трактатов Неморария чрезвычайно ярка и подчеркнута. Исходя из того же основного понятия "gravitas secundum situm" и базируясь, по-видимому, на тех же, правда не сформулированных, аксиомах, что и в рассмотренном нами выше варианте, автор стремится вести все доказательство строго геометрическим путем, обильно ссылаясь при этом на Евклида и Архимеда. Недавнее знакомство с этими классиками александрийской науки, очевидно, вызвало в некоторых научных кругах XIII в. сильное увлечение их трудами и их методом, нашедшее отражение в настоящем варианте трактата Иордана. Правда, воспитанные на ранее усвоенных, чисто перипатетических работах и на сочинениях арабского средневековья, феодальные ученые, даже те, кто с увлечением занимался изучением творений великих александрийцев, вряд ли в какой-нибудь мере достигали сходства со своими прообразами. Совсем иная социально-политическая обстановка, неизгладимое влияние алгебраически направленных арабских сочинений неизбежно сказывались на творчестве западных механиков геометрической ориентации, которые в XIII в. пытались воссоздать стройные и гармоничные произведения III в. до н. э.; сказалось это и на геометрическом варианте трактата Неморария.

Доказательства этого трактата, как мы уже отмечали, строго геометричны. Стремясь доказать те же положения, которые, и притом гораздо логичнее, доказываются в перипатетическом варианте в немногих словах, сводящих любую задачу к основной формуле движения, данный трактат бесконечно подробно разбирает равенства и подобия треугольников, соотношения между дугами окружностей и стягивающими их хордами и пр. и по существу топчется на одном месте, не доказывая, а только формулируя сложнейшим геометрическим языком и без того ясные положения. Было бы невозможно и излишне приводить все длиннейшие и запутаннейшие доказательства трактата. Мы поэтому ограничимся тремя из них, кажущимися нам вполне характерными, теоремами — первой, третьей и восьмой.

Первая теорема (являющаяся излишней в перипатетическом варианте, ибо в нем она повторяет аксиомы, изложенные в предисловии) во втором варианте, не имеющем предисловия, является основной. Она весьма пространна и может быть поэтому пересказана только со значительными сокращениями. Приведем ее формулировку: "В любых двух весомых телах пропорция между скоростями опускания и весами прямая, а если взять опускание и противоположное движение, пропорция та же, но обратная" .

Доказательство этого положения, в котором "implicite" заложено все дальнейшее, о чем, как мы увидим ниже, догадывается и сам автор, ведется следующим образом.

Пусть вес а (рис. 14) опускается из а в с, а вес b — из b в d. Требуется доказать, что a/b=ac/bd. Допустим, что наше предположение неправильно. Допустим также, что а больше b на е и ас больше bd на f, (подробнейшее доказательство этого с обильными ссылками на Евклида и Архимеда дается в конце теоремы особо). А так как f есть опускание е, то полученное нами неравенство противоречит нашему предположению, что отношение весов меньше отношения опусканий, а, следовательно, предположение это было сделано неправильно. Таким же образом приводится к абсурду и противоположное предположение и доказывается первая часть теоремы, из которой как следствие выводится и вторая часть, ибо ясно, что подъем равен и противоположен опусканию, а, следовательно, отношение между весами подымающихся и опускающихся грузов обратно пропорционально скоростям их опускания или же проходимым ими путям, так как, подобно большинству разобранных нами выше источников, наш трактат не делает различия между скоростями и длинами путей, проходимых в одно и то же время.

Доказав, таким образом, свою теорему, автор, однако, замечает, что доказательство его является недостаточным для выведения из него дальнейшего; поэтому он считает необходимым дополнительно истолковать основные понятия, которые фигурируют в первой теореме и которые в дальнейших доказательствах применяются несколько в другом смысле (напомним еще раз, что предисловие в этом варианте отсутствует). Первое и, пожалуй, главное здесь то, что опускание понимается не как естественное падение в какой-нибудь среде, а исключительно как опускание груза, укрепленного на одном конце весов, другой конец которых поднимается вследствие опускания первого. "Большая (посылка) должна определять не движение весомого тела, предоставленного собственной природе, а движение весомого тела на весах, при наличии сопротивления весомого тела, помещенного на другом плече весов" . Далее: нельзя рассматривать веса без учета длин плеч, ибо мы имеем здесь дело соотношением всей силы на одном конце весов со всем сопротивлением на другом конце, в соответствии с каковым соотношением и изменяются скорости движения концов весов.

"Почему необходимо заметить следующее: доказательство не должно понимать так, что как опускание а относится к опусканию b, так весь вес а просто и по положению относится ко всему весу b просто и по положению, и это надлежит строжайшим образом различать.

Ибо это правильно только тогда, когда таково же отношение всего веса я ко всему весу b, каково оно между всей силой а или его сопротивлением и всей силой b при его сопротивлении. И согласно этому изменяются скорость и опускание, и иначе высказанное автором не будет иметь силы" .

Так (рис. 15), если мы будем рассматривать весы bacd и подвесим на левом плече один и тот же вес g сначала в с, а затем в d, то хотя эти грузы естественно (от природы) равны, но один будет опускаться по дуге окружности радиуса da, а другой по дуге окружности радиуса са, а так как длины дуг относятся как радиусы окружностей, то вес груза g, подвешенного в положении d, будет относиться к весу того же груза, подвешенного в положении с, как da к са, а, следовательно, равные грузы будут весить разно в разных местах весов. Кроме того, g, будучи помещен в с, будет уравновешиваться некоторым грузом b на другом конце весов, а будучи помещен в d — некоторым другим грузом c, отношение которого к первому будет также равно отношению са к da; следовательно, разные грузы в одном месте будут уравновешивать равные в разных местах. Из этого вытекает, что веса в данном доказательстве и в дальнейшем изложении должны рассматриваться не сами по себе, а в связи с длинами плеч, на которых они укреплены, так что если мы правильно разберемся в этой связи, то поймем все дальнейшее: "Sic igitur intelligendo conclusionem procedit propositio autoris, aliter non".