ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕХАНИКА - ГЛАВА 1. АНТИЧНОСТЬ. § 4. РИМСКАЯ ПОЗДHЕЭЛЛИHИСТИЧЕСКАЯ МЕХАHИКА

Совсем в другой мир мы вступаем, когда переходим от эллинской и эллинистической к римской и позднеримской механике. Все достижения, все результаты научной работы греческого мира были усвоены миром римским и полностью вошли в его духовный багаж. Процесс этого усвоения был закончен, когда начало колебаться здание государства, воплощавшего в своем лице всю античность.

Колебание это явилось следствием, с одной стороны, неустойчивости всей социально- политической структуры Римской империи, с ее городом-гигантом в центре и колоссальной завоеванной территорией вокруг него, и с другой — все учащающихся и расширяющихся социальных волнений и разложения всех социальных отношений, наконец, решающих ударов нашествий варваров. Естественно, что в эти времена, полные борьбы и тревоги, абстрактно философский характер эллинской и особенно эллинистической науки был неуместен. В лихорадочном темпе пышного, но бесплодного строительства, борьбы — блестящей и кровавой, но бесперспективной, взоры сами собой обращались к средствам, которые могли бы помочь как в том, так и в другом: усиливался интерес к технике. Мы отмечали уже, что техника, хотя медленно и ощупью, все же развивалась и в эллинском и в эллинистическом мире, в Риме же она пыталась сделать резкий скачок вперед. Попытка эта была обречена на неудачу, ибо социально-экономические корни рабовладельческого строя были уже безнадежно подточены. Но, несмотря на эту безнадежность, техника позднего Рима усиленно развивалась, стараясь использовать всевозможные пути и средства. Греческая наука, вошедшая в обиход, была не нужна и непонятна в таком виде, в каком она была создана: римская техника сделала попытку упростить ее и поставить себе на службу.

Одним из сравнительно ранних и чрезвычайно характерных образцов такого нового, еще не вполне освоенного соотношения между наукой и техникой является знаменитое, постоянно читавшееся и в средние века и, особенно, в эпоху Возрождения сочинение Витрувия "Об архитектуре".

В предисловии к трактату сам автор говорит, что "архитектура состоит из практической деятельности (fabrica) и теории (ratiocinatio). Практическая деятельность есть приобретенная размышлением и постоянным упражнением механическая сноровка выполнять по представленному чертежу здание из всякого рода материалов. Теория же есть умение разбирать и оценивать здания, выполненные на основе правильных пропорций. Поэтому те архитекторы, которые без научных знаний стремились только к механической сноровке, никогда не приобрели себе своими работами славы; те же, которые полагались только на теорию и свои научные знания, как будто тоже принимали топь за тело. Только тот, кто серьезно изучил и то и другое и вполне вооруженный, преследовал свою цель, достигал ее с честью". Ясно, что автор, считая необходимым для техника научные знания, ставит этим самым теорию на службу практике.

Формулируя, однако, в короткой фразе соотношение между теорией и практикой, он не решается все же утверждать, что теория кладется в основу самой практики, что на основании; научных обобщений можно выполнить какую-нибудь реальную работу. Теория служит у него только для оценки уже выполненной, при помощи эмпирически добытых приемов, работы. Таким образом, и втянутая в круг практических интересов теория сохраняет все же свой констатирующий характер. Но, останавливаясь на полпути в первых, обобщающих форму; формулировках своего введения, в тексте трактата Витрувий идет сколько дальше. Так, он говорит о непосредственном техническом применении геометрии, астрономии, даже медицины и философии, причем весьма характерно, что к "философам" причислен и Архимед.

Основной текст посвящен описательно переданным практическим указаниям и рецептам, почти лишенным теоретического обоснования. Нас интересует содержание Х книги трактата, посвященной "Основам механики".

Механика определяется как учение о машинах, что характерно для всего римского и отчасти после римского периода. Maшине же дается следующее, часто, но, к сожалению, не полностью цитируемое определение: "Машина есть прочное соединение деревянных частей, предназначенное для передвижения тяжелых грузов и приводимое в движение искусственным образом по кругу".<.P>

Уже это сведение всех движений машин к круговому движению и ссылка на греческое выражение заставляют вспомнить подробно разобранные нами псевдоаристотелевские "Проблемы механики". Когда же, после описания нескольких подъемных сооружений, мы подходим к главе восьмой той же книги, к главе, дающей теоретическое обоснование всей механике, мы убеждаемся в том, что теоретические знания Витрувия базируются исключительно на "Проблемах". При этом несложна математический аппарат последних, очевидно непонятный автору-практику, отброшен, а сохранена только описательная оболочка всех рассуждений, чрезвычайно путанных и туманных. Все действия машин объясняются следующим образом: "Движение и сила их производятся соединениями двух полностью друг от друга отличных и неравных вещей, каковые следует рассматривать как причину обоих действий. Первое есть прямая линия второе — круговая линия. И в действительности, ни прямолинейное движение без циркульной линии, ни круговое движение без прямой линии не могут поднять какой бы то ни было силы". Приведенное абсолютно голословное и ничего не объясняющее положение, несомненно, восходит ко второй главе "Проблем" с ее сведением движения концов прямолинейного рычага к движению по окружности. Но, ничего не поняв в сравнительно сложном доказательстве трактата, Витрувий ограничивается пустой описательной формулировкой.

Так же поступает он и дальше, сводя вслед за "Проблемами" псе машины к рычагу и рычаг — к весам. Дальше абстрагирующей способности у римского архитектора не хватает: он не сводит весы, как это сделано в "Проблемах", к кругу и его волшебным свойствам, не догадывается даже свести их действие к тому жалкому и пустому закону связи между прямолинейными и круговым движением, который он сформулировал выше, а ограничивается описанием римских весов, несколько отличных по типу от описанных в "Проблемах". Он говорит, что "все эти положения (сущность машин, рычага и т. п.) обнаруживаются в тех весах (trutina), которые называются statera. Ибо точка "норы в них укреплена неподвижно, близко от конца, на котором находится постоянный груз, а на длинном плече коромыслa груз может перемещаться от одной точки к другой, и чем дальше он от точки опоры, тем больший момент (momentum) он получает; так что, когда он продвинут совсем к краю, то может поддерживать в равновесии совсем не равный ему вес. Таким же точно образом, благодаря моменту, получающемуся вследствие далекого расстояния от точки опоры, крайне малая сила может легко и постепенно поднять снизу вверх значительно больший груз". В этом, во многих отношениях чрезвычайно любопытном, отрывке особенно интересны две черты. Во-первых — самая суть описания, рабски эмпирическая, показывающая что автор, списывая из "Проблем", не понимал того, что он списывал. Возводя машину к рычагу и рычаг к весам, он, следуя за своим первоисточником, подымается ко все более общим понятиям, но, не понимая, зачем это делается, не идет дальше, а рассматривает весы как реальный механизм, т. е. приходит к той точке, из которой вышел. Второй характерной чертой отрывка является применение термина "момент". Термин этот, так же как в XVI в. у Коммандина или Кавальери, применяется, по-видимому, для передачи греческого понятия, означаемое им, как и понятие природы близко к современному понятию момента. Применение этого термина Витрувием без всяких особых объяснений, без часто приводимого им греческого аналога, указывает как будто на то, что термин этот в таком именно значении был ко времени Витрувия общераспространенным.

Объяснив, как ему кажется, сущность действия всех машин, Витрувий затем кратко и чрезвычайно нечетко приводит заимствованные из тех же "Проблем механики" примеры сведения к рычагу простейших приспособлений — мачты, руля и палок для ношения грузов. Здесь опять сказывается беспомощность его по отношению к источнику. Несмотря на то, что приводимые "Проблемами" примеры абсолютно чужды всей тематике трактата, он не может заменить их примерами из своей специальности — строительного дела, а, путая и сокращая, повторяет азы греческой науки.

Покончив в одной главе с той "теорией", которую Витрувий так хвалил во вступлении и которую он так плохо понял, он со спокойной душой возвращается к чисто эмпирическому описанию различного рода машин — вначале водяных колес, насосов, а затем метательных и осадных орудий.

Целью всего труда является практически добытая рецептура (fabrica). Ho так как признаком хорошего тона были тогда ссылки на применение теории к практической деятельности и знакомство с греческой наукой, то небольшая доля таковой добавляется в изложение, причем неловко и неумело. Конечно, в практика от этого добавления мало выигрывает, и теория не только не двигается вперед, но значительно откатывается назад, упрощаясь и вульгаризируясь.

Тот же процесс внедрения техники в науку при омертвении достижений последней отражается, хотя и на значительно более высокой ступени, в большом трактате по механике Герона Александрийского. Трактат этот , дошедший до нас только в арабском переводе и опубликованный в конце XIX в., был, невидимому, неизвестен ни средневековой, ни возрожденской науке. Это подтверждается и отсутствием списков текста его в греческом оригинале и в латинском переводе, и отсутствием упоминания о нем у схоластических авторов, вообще любящих щеголять своей античной ученостью. Однако совпадение многих постановок вопросов, если не их решений, в поздних средневековых и особенно возрожденских трактатах по механике с героновским материалом указывает на возможность существования в средневековой письменной, а может быть только устной, школьной традиции компендиев по теоретической и технической механике, если не полностью совпадающих с дошедшим до нас через арабов трактатом Герона, то все же построенных по тому же шаблону и включающих тот же материал.

Геронов трактат, так же как "Проблемы механики", скорее всего является компендием, сводом всех известных ко времени его составления сведений по механике . Но насколько псевдоаристотелевский трактат носил констатирующе-философский характер, сближавший его с аристотелевой энциклопедией настолько же трактат Герона носит характер научно-прикладной, сближающий его хотя бы с только что рассмотренной энциклопедией архитектуры Витрувия. Однако если, как и в последнем, доминирующей чертой его является попытка приложить науку к технической практике, то самое это приложена у Герона происходит более органично, чем у Витрувия.

Трактат Герона в том арабском переводе, который до нас дошел, начинается без всякого обычного в античных трактата введения, разъясняющего цель и метод работы, и состоит из трех неравных по величине и равно разнородных по содержанию книг. Первая из них, наиболее хаотическая и собранная очевидно, из наибольшего числа первоисточников, невидимому должна была быть посвящена теоретическим основам механики. Но автор настолько не понимает сущности строгого и четкого научного построения хотя бы в духе Архимеда, что начинает изложение чисто теоретической части своего труда с рассмотрения вполне конкретного механизма лебедки с системой зубчатых колес. Ни аксиом, ни ступенчато построенной на них системы теорем нет и в помине. Основные теоретические положения считаются доказанными в предыдущих работах друга авторов — "древних", как говорит трактат. В нем же дают только описания тех или иных явлений с весьма поверхностными попытками их объяснения, причем и самые эти объяснения носят преимущественно описательный, а не доказывающий характер.

Как мы уже упоминали, первая книга трактата похожа и компиляцию, ибо состоит из трех совершенно разнородных частей. Первая часть, следующая непосредственно за описанием зубчатой лебедки, невидимому примыкает к "Проблемам механики" или к какому-нибудь связанному с ними источнику. Все вопросы, затронутые в этой части (§ 2—10), встречаются и в "Проблемах", но разобраны в них гораздо более четко. Вторая часть первой книги не имеет прямого отношения к механике, и не вполне понятно, зачем она помещена в трактат (§9—19). Только последний ее параграф рассматривает связанный с механикой вопрос — геометрическое построение зубцов в шестерне, которые должны сцепляться с нарезкой винта-червяка. Довольно длинное и запутанное изложение имеет вполне конкретный рецептурный характер и может быть с полным успехом применено на практике, теоретическая же его часть крайне слаба.

Третья небольшая часть первой книги (§ 20—24) рассматривает собственно основы механики. Она утверждает, что определенный груз, лежащий на земле, может быть приведен в движение силой, значительно меньшей его веса, даже силой сколь угодно малой, ибо нужно только вывести из горизонтального положения плоскость, на которой данное тело находится в равновесии . Для того же, чтобы поднять тело наверх, необходима сила большая, чем его вес, как это видно на неподвижном шкиве.

Затем разбираются движение и равновесие тела на наклонной плоскости, но разбираются очень поверхностно. Выясняется только, почему тело будет двигаться, "ибо, — отвечает автор, — большая часть тела, например, цилиндра, будет находиться ниже вертикальной плоскости, проходящей через точку касания и делящей его на две неравные части, и потому будет тянуть все тело вниз; для того же, чтобы уравновесить его, нужно подвесить с другой стороны груз, равный разности между частью, лежащей по одну сторону вертикальной плоскости, и частью, лежащей по другую ее сторону". Ни влияние угла наклона, ни какая бы то ни было зависимость между величинами, определяющими равновесие на наклонной плоскости, не установлены.

Последний параграф этой части посвящен центру подвеса и центру тяжести и равновесия. Со слов стоика Посидония дается определение центра тяжести и равновесия как точки, в которой тело, будучи подвешено, разделяется на две равные части. Затем, со ссылкой на Архимеда, устанавливается далеко не вполне ясное различие между центром подвеса и центром тяжести или равновесия. Первый определяется как точка, в которой система, будучи подвешена, остается в равновесии, и здесь же в одной фразе дается закон рычага. Центр же тяжести, или равновесия, определяется как единственная точка в каждом теле, в которой сходятся (вертикальные) линии, идущие от точки подвеса .

Затем дается сравнительно полное логическое и убедительное доказательство того, что центр тяжести и равновесия в каждом теле только один. Доказательство это явно заимствовано из одного из не дошедших до нас сочинений Архимеда и характерно скорее для последнего, чем для Герона. Оно основано на поворачивании тела, проведении через него в каждом повороте плоскости, делящей его на равные части, и показе того, что предположение о непересечении этих плоскостей в одной прямой приводит к абсурду. Однако и это, в основном, по–видимому, архимедовское, доказательство дается не в свойственной последнему математической форме, т. е. в системе аксиом и теорем, а в сжатом и не очень четком изложении. Наконец, четвертая и последняя часть первой книги посвящена основам, условно выражаясь, статики сооружений. Ссылаясь па не дошедшую до нас работу Архимеда "Книга опор", она дает весьма подробный, но стоящий на небольшой теоретической высоте разбор разных случаев распределения веса балки, лежащей на нескольких: опорах, между этими опорами при различных положениях этих последних. Так, наиболее простой § 26 доказывает, что если равномерная балка опирается, своими концами на две колонны, то каждая из них будет нагружена половиной ее веса (принимается без доказательства). Если же в любом месте между двумя колоннами поместить третью и рассматривать каждую пару соседних колонн отдельно, то выяснится, что средняя колонна несет половину всего веса, неся половину каждой его части, находящейся между средней и крайними колоннами, а вторая половина распределяется между крайними колоннами пропорционально их расстоянию от средней. Такое же рассуждение применяется для четырех опор и, по заявлению автора, может быть применено для любого их числа. Затем рассматривается более сложный случай, при котором одна из опор, поддерживающих края балки, продвигается к средине и когда при таком положении крайних опор к ним прибавляется средняя опора или отнимается одна из крайних. Точно таким же способом рассматривается распределение веса тела, подвешенного на поперечной балке между двумя опорами, на которых лежат концы этой балки, и доказывается, что каждая из опор несет половину веса балки; вес же подвешенного груза распределяется обратно пропорционально расстояниям между опорами и точкой подвеса его.

Заканчивается книга разбором двух весьма любопытных вопросов. Первый касается физического рычага, для которого остроумно доказывается неправильность безоговорочной формулировки обратной пропорциональности между плечами и грузами: если представить себе весы с весомым коромыслом, на которых два неравных груза, расположенные на расстояниях, обратно пропорциональных своим величинам, уравновешивают друг друга, и затем отрезать неравные концы коромысла, выступающие за точки подвеса, то равновесие нарушится, хотя расстояния между грузами и точкой опоры останутся неизменными. Дальше констатации факта Герон, однако, не идет, не делая никакой попытки сформулировать зависимость, существующую между грузами и расстояниями их от точки опоры в физическом рычаге.

Последние два параграфа (33 и 34) посвящены равновесии криволинейного рычага. В них без особого теоретического доказательства, а просто в порядке утверждения, устанавливается что в криволинейном рычаге надо принимать в расчет не реальные длины плеч, а расстояния между точками подвеса грузов измеренные по прямой, перпендикулярной к линиям подвеса т. е. по горизонтали. Здесь, особенно в § 34, в котором разбивается равновесие двух грузов, подвешенных на нити, перекинутой через шкив, т. е. случай рычага с прямолинейными, и расположенными под углом плечами, еще более явно, чем "Проблемах механики", формулируется правило равенства моментов сил относительно точки. Интересно то, что во всем положении Герон постоянно ссылается на Архимеда, в системы которого, очевидно, это правило было математически обосновано. У самого же Герона оно, как и все вопросы, затронуты в первой книге, за исключением (и то не полным) вопроса о центре тяжести, дается как готовый результат. Интерес к познавательной стороне явления, любование игрой мысли при сложной и четком выводе заранее известного результата, столь свойственные всей эллинской и эллинистической механике, даже этой первой, собственно теоретической книге компилятивное трактата Герона полностью отсутствуют. Его интересует результат, а то, что он выведен правильно, он принимает на слово ибо слепо верит в авторитет Архимеда. Цельной системы понятий, определений, аксиом и теорем нет и в помине. Из багажа завещанного греческой наукой, берется наугад тот кусок, который в данный момент нужен, без разбора того, в какой связи он находился, без критики основ, без доказательства.

Тот же грубый эмпиризм первой книги еще яснее выступа в более стройной, заимствованной, очевидно, из одного, а не ряда источников, второй книге, в которой разобраны пять основных механизмов, "при помощи которых определенный груз двигают определенной силой", — ворот, рычаг, блок, клин винт. Композиционно книга построена стройно, хотя мало целесообразно. Сначала дается простое описание каждого из механизмов, его конструкции и работы с ним. Так, § 2, рассматривающий рычаг, начинается словами: "Второй механизм. Второй механизм есть тот, который называется рычагом; механизм этот был, по всей вероятности, первым, который придумали для перемещения весьма тяжелых тел", и кончается: "Когда этот механизм был найден, то поняли, что возможно при помощи его передвигать большие грузы. Самый кусок дерева называют рычагом, независимо от того, кругл ли он или четырехуголен (в сечении). Чем ближе к грузу помещают камень, подкладываемый под него, тем удобнее производится движению, как мы это покажем в дальнейшем". В таком же духе выдержаны и другие описания; при этом действие клина сводится к действию производимого по нему удара, а работа винта сведена к клину, действующему не от удара, а от рычага.

В следующем разделе книги дается объяснение сущности действия пяти вышеописанных простейших механизмов. И здесь мы тщетно будем искать теоретического обоснования — все объяснение сводится, например, для рычага и ворота к показу того, что в них мы имеем две окружности с разными диаметрами, а, как доказал Архимед, две окружности с разными диаметрами есть то же, что весы, вращающиеся вокруг неподвижной точки опоры, грузы на которых обратно пропорциональны расстояниям от этой точки. Мы имеем здесь, таким образом, совершенно ясный порочный круг, так как Герон пытается объяснить рычаг свойствами движения концов его по разным окружением, а последнее опять сводит к весам, т. е. к тому же рычагу.

Вообще все изложение, так же как и в первой книге, свидетельствует о полной теоретической беспомощности автора, понимая, однако, незаурядную наблюдательность его по отношению к действительности. Действие всех пяти механизмов разобрано весьма подробно и в основном правильно. Для рычага рассмотрены два частных случая подъема груза: с земли рычагом первого рода, когда груз подымается полностью, и, остающегося лежать на земле одной своей точкой.

Подробно рассмотрен и разобран блок. Совершенно правильно и четко изложена разница между неподвижным блоком (§ 13), не дающим выигрыша в силе, и блоком подвижным, в котором к рабочему концу нити должна быть приложена только половинная сила, но причина выигрыша в последнем случае объяснена неудовлетворительно. Равным образом неудовлетворительно объяснен и полиспаст второго рода, или таль, для разъяснения свойств которого Герон закрепляет оба конца рабочей нити (при четном числе блоков один на грузе, другой на опоре а при нечетном — оба на грузе) и рассматривает условия равновесия подвешенного груза, выводя правило: "Отношение известного груза к движущей его силе должно быть равно отношению (числа) натянутых нитей, подымающих груз, к нитям, движимым силой". Иначе, если движущая сила одна, то сила равным грузу, деленному на количество работающих в тали нитей, что само по себе правильно. Неясно только, что понимал Герон под талью с большим числом движущих нитей. Полиспаст первого рода совсем не разобран.

Объясняя клин, Герон не подходит к формулировке закона равновесия тела на наклонной плоскости и весьма смутно представляет себе, что и как следует здесь доказать. Несмотря на это; он приходит, так же как и по отношению к тали, к недостаточному, но, в общем, правильному результату. Так, доказывая что всякий клин может быть подвинут на некоторое расстоянии любой сколь угодно малой силой, он приходит к выводу, что большой клин, движимый определенной силой на определен новое расстояние, может быть разделен на ряд клиньев, имеющего ту же длину, но меньшую высоту, причем высота малых клинов столько раз содержится в высоте большего клина, во сколь раз меньшая сила будет двигать меньший клин на то же расстояние. Из этого он выводит, что "чем меньше угол клина, тем меньшей может быть сила в отношении силы, загоняющей весь клин".

Доказательство этого положения, являющегося смутный предчувствием закона наклонности плоскости, вообще может быть названо доказательством только с большой натяжкой. Это вольно беспомощная попытка объяснить известный из опыта феномен, т. е. то же, что мы имеем хотя бы в "Механических проблемах". Но цель и характер этого объяснения в обоих мятниках резко различны. В то время как у псевдо-Аристотеля мы имеем описание, имеющее целью наиболее глубоко проникнуть в философскую сущность явления и связать его со всей картиной осмысляемого как единое целое мироздания, у Герона описание носит конкретно технический характер. Ни сущность явления, ни тем более его связь со всей системой подобных явлений его не интересуют; он стремится так описать явление чтобы осмыслить его в его конкретном, техническом бытии и чтобы при помощи этого описания его можно было построить. Такой же характер технического описания носит у Герона и разбор последнего из простейших механизмов — винта, рассматриваемого как навернутый на цилиндр клин со всеми вытекающими из этого обстоятельства последствиями.

Рассмотрев все пять механизмов, Герон в § 20 делает вывод, что "пять механизмов, движущих груз, подобны кругам с одним центром... Мне же кажется, что они больше подобны весам, чем кругам, так как в вышесказанном основы доказательства для кругов опирались как раз на весы. Ибо было доказано, что груз, подвешенный на меньшей стороне, так относится к подвешенному на большей, как большее плечо весов к меньшему". Вывод этот в чрезвычайно ощутительной форме обнаруживает ту теоретическую беспомощность автора, на которую мы уже обращали внимание.

За рассмотрением пяти простейших механизмов следует разбор систем механизмов, сначала однородных, т. е. систем зубчатых колес, рассматриваемых как система воротов, систем блоков и талей, систем рычагов, причем для всех них показывается, что, сколько мы приобретаем в силе, столько же теряем в скорости. Затем рассматриваются системы, состоящие одновременно из разнородных механизмов — рычагов, винтов, блоков.

После рассмотрения простых и сложных механизмов стройность второй книги трактата нарушается; автор переходит к рассмотрению отдельных частных вопросов. Замечательно здесь то, что, говоря о действии машин, автор обращает внимание а необходимость несколько увеличивать силы, прилагаемые машинам, по сравнению с определенными теоретически, принимая во внимание трение, попытка определения величины которого полностью отсутствует.

Затем идет как бы вставленный в изложение отдельный небольшой трактат — возможно, другая версия тех же "Механических проблем", которые были использованы в первой книге. Трактат начинается с теоретических рассуждений о характере научного познания, которое основывается на выведении неизвестного из известного для объяснения непонятных и кажущихся противоестественными явлениями. Это же познание разрешает любую задачу, возведя сущее к его причинам. После этих рассуждений, весьма любопытных, но мало характерных для геронова научного метода, трактат переходит к рассмотрению ряда конкретных механических задач, вроде следующих: а) почему повозки с двумя колесами несут грузы легче, чем повозки с четырьмя? b) почему один и тот же вес вызывает в находящихся в равновесии весах разный наклон, т. е. при меньшем противовесе больший наклон? с) почему большие грузы падают на землю скорее, чем более легкие? d) почему при выдергивании зубов применяют щипцы, а не руку? Как формулировка самых вопросов, так и ответы на них чрезвычайно грубы, элементарны и находятся на более низком уровне, чем изложение начала и конца второй книги.

Последние семь параграфов второй книги (§ 35—41) содержат определение центра тяжести плоских прямолинейных фигур, выяснение того, как распределяется вес плоского прямолинейного тела между опорами, помещенными в его углах, как распределяется вес груза, подвешенного в центре тяжести такого же тела между теми же опорами и как определяется точка подвеса (центр тяжести), если к такому же телу в углах подвесить равные веса. Все задачи эти разрешаются чрезвычайно кратко, суммарно и нестрого. Из архимедовых доказательств заимствуются только наиболее простые; как бы результативные части, вся же система рассуждения совершенно другая. У Архимеда — стройное доказательство, стремящееся достигнуть абсолютной логической строгости выведения из немногих аксиом; без каких бы то ни было логических скачков и пропусков, того, что требуется доказать; здесь — стремление путем приведения нескольких, не являющихся ни аксиомами, ни доказываемыми теоремами утверждений, имеющих видимость очевидности и почти всегда заимствованных из других сочинений, привести к результату, который так же, впрочем, как и у Архимеда, заранее известен.

Третья и последняя книга наиболее кратка. В ней содержится описание различных машин, относящихся к двум типам, — подъемных машин, применяемых в строительном деле, и прессов для масла и вина. Описания абсолютно эмпиричны и не содержат никаких геометрических элементов, так же как описания Витрувия; но именно в этих чисто технических описаниях, которым посвящена последняя книга, вся сущность трактата как целого. Отсутствие вкуса к теории, отсутствие понимания ее специфики является, как мы отмечали уже, основной его характеристикой. Поэтому, поверхностно объясняя технические явления, автор трактата не создает новой теоретической системы и даже не задумывается над хотя бы частичным исправлением старой, а просто применяет отдельные ее фрагменты для своих целей. А между тем, старая система механических понятий и зависимостей, вышедшая из философского описания технических явлений, но совершенно не приспособленная к вмешательству в него, не годилась для трактата Герона, имеющего целью именно такое вмешательство. Для создания действительно научной техники надо было с новыми критериями пересмотреть старый теоретический багаж, надо было построить из элементов старой новую систему, пользуясь новыми чертежами, но античное общество не было уже способно на это.

В результате трактат Герона оказался достаточно неуклюжей компиляцией, свидетельствующей о надвигающейся катастрофе античного мира, об изменении всей системы научного мировоззрения, но сохраняющей все же и осколки системы старой.

Те же сочетания старой теории и новой практики отмечает и последнее рассматриваемое нами античное произведение по вопросам механики — восьмая книга "Математического собрания" Папа Александрийского .

Но в то время как в произведении Герона сочетание это носит характер органической связи, в произведении Паппа -— кабинетного ученого, на границе между античностью (закат которой он, как и многие его современники, уже ясно видит) и средними веками, это сочетание носит характер схоластической сводки. Как многие энциклопедисты III — V вв., Папп стремится собрать в одном грандиозном сочинении все, что ему кажется наиболее ценным из античного научного наследия, гибель которого он предчувствует. Поэтому "Собрания" Паппа, самое название которых говорит за себя, дают еще более пестрый, разнокалиберный и не связанный в единое целое материал, чем "Механика" Герона. В книге восьмой "Собраний", посвященной механике и дошедшей до нас, по-видимому, не полностью, эта пестрота сказывается особенно ярко.

Первый параграф восьмой книги содержит обычно приводимое исследователями вступление. В нем автор говорит о важности и значении механики, "ибо она, во-первых, рассматривает учение о материи и природе элементов мира; при этом, изучая положение и тяжесть тел и движение их в пространстве и исследуя причины движений, производимых ими естественно, в то же время принуждает неподвижные тела переходить со своих мест, вызывая движения, противоречащие их природе. И для того чтобы производить это, механика пользуется теоремами, подсказываемыми самой природой (материей)". Затем, следуя за Героном, который, так же как и ряд других авторов, особенно Птоломей, неоднократно цитируется во всем ходе изложения, Папп различает две части механики: теоретическую, содержащую геометрию, арифметику, астрономию и физику, и практическую, рукодельную, содержащую обработку меди, обработку железа, строительное дело, обработку дерева, живопись и пр. и не обязательно связанную с первой. "Но так как, — продолжает Папп, — невозможно, чтоб один и тот же человек полностью усвоил и обширнейшую область математической науки, и все названные нами искусства, то необходимо, чтобы желающий получить сноровку в последних усвоил необходимое именно для каждой данной отрасли искусства". Затем перечисляются разные специальности механического искусства — изготовление подъемных механизмов, военных машин, автоматов и т. п. Собственно теоретическая часть книги начинается с восхваления Архимеда, выяснившего причины и способы действия всех механических явлений, и с указания, что в дальнейшем будет изложено все то, что в области механики геометрическим образом доказали древние, и ко всему этому прибавлены некоторые собственные выводы и доказательства. При этом особо обращается внимание на три проблемы, рассматриваемые в дальнейшем: 1) проблема подъема тела по наклонной плоскости, 2) нахождение двух средних пропорциональных к двум данным неравным прямым (вопрос, трактовавшийся также Героном) и 3) нахождение диаметра зубчатого колеса, соединенного с заданным и дающего определенную передачу. Все эти проблемы, говорит Папп, будут рассмотрены вместе с рядом других, но, прежде, чем приступить к их рассмотрению, надо кратко изложить учение о центре тяжести.

Самое изложение начинается с чрезвычайно важного и показательного заявления: "Что есть тяжесть и легкость и по какой причине тела двигаются вверх и вниз и какими основными определениями характеризуются самые понятия "верх" и "низ", мы здесь не будем излагать, ибо это все изложено в математическом сочинении Птоломея, но что есть центр тяжести и т. д. ..." Заявление это показывает, что ученый комментатор и собиратель античной мудрости Папп в большей степени, чем погруженный в эмпирическую технику Герон и витающий в эмпиреях формальных, математически строгих доказательств Архимед, сознавал связанность всего построения механики с теми основами представлениями о пространстве, движении и весе, которые были наиболее классически сформулированы за ни веков до него философом из Стагиры, а затем, в несколько измененном виде, положены Птоломеем в основу всей его классической на протяжении многих веков космологии. Но, сознавая связь механики с этими основными понятиями и закономерностями, Папп, идеалом которого является далекий Архимед, а реальным, действительно чувствуемым и поражаемым образцом значительно более близкий Горон, склонен предполагать, что читателю известны все эти основные, неоспоримые положения, и переходит непосредственно к делу.

Учение о центре тяжести, определяемом как "точка, находящаяся внутри тела (обладающая тем свойством, что), если представить себе тело подвешенным за нее, то оно находится в покое и равновесии и сохраняет свое положение", излагается вслед за Героном (см. выше стр. 67) и с ссылкой на (до нас не дошедшее) сочинение Архимеда "О равновесии". Затем следует подробное рассмотрение нескольких специальных теорем о центрах тяжести, очевидно являющееся собственным вкладом автора, и два параграфа, имеющие косвенное отношение к механике.

Но основной, наиболее нас интересующей и важной для дальнейшего главой книги Паппа является десятая, заключающая рассмотрение подъема тела по наклонной плоскости. Проблема эта, поставленная уже, как мы видели (стр. 72), Героном, но разрешенная им чисто описательно, без какой бы то ни было попытки математического анализа, формулируется Паппом так: "Дан вес, который данная сила движет по горизонтальной плоскости, и дана другая плоскость, наклоненная к горизонтальной под данным углом; требуется определить, какой силой этот же вес будет движим по наклонной плоскости". Как совершенно правильно указал Дюхем , уже в самой формулировке проблемы заключается основная ошибка Паппа: он предполагает, что для приведения тела в движение по горизонтальной плоскости необходима некоторая определенная и довольно значительная, зависящая от веса этого тела сила, явно не сводимая к преодолению трения (так, в примере, приводимом в конце доказательства, сила эта приравнена к силе, котором обладают 40 человек). Предположение это тем более удивительно, что образец и учитель Паппа — Герон в главах 20 и 21-й первой книги своей механики, подробно изученной и частично изложенной Паппом, совершенно недвусмысленно утверждает: "Многие люди полагают, что лежащая на земле тяжесть может быть приведена в движение только эквивалентной ей силой, что, однако, неправильно. Мы докажем, что тяжести, лежащие названным образом, могут быть приведены в движение силой меньшей, чем любая известная сила, и разъясним причину, вследствие которой это явление в действительности незаметно. Происходит же это вследствие того, что шероховатые тела, опираясь одно на другое, касаются друг друга как зубчатые колеса, почему создается известное сопротивление". Это противоречие с Героном, обрекающее на бесплодность все дальнейшее рассуждение о наклонной плоскости, свидетельствует либо о поверхностном понимании физической стороны его высказываний Паппом, правильно понимающим чисто математические и даже довольно сложные рассуждения архимедова типа, либо же, что более вероятно, говорит о том, что и данное доказательство, несмотря на утверждение автора об обратном, как большая часть изложения, заимствовано из не дошедшего до нас сочинения античного механика; противоречие его предпосылки с утверждением Герона не замечено в процессе аккуратной и кропотливой, но поверхностной и формальной, собирательской работы.

Самое доказательство ведется следующим образом. Предполагается (рис. 4), что некое весомое тело движется силой по горизонтальной плоскости. Если теперь представить наклонную плоскость, образующую с горизонтальной плоскостью данный угол, и данное тело, лежащее на наклонной плоскости, представить в виде шара, имеющего тот же вес, и тот же центр тяжести, то задача сведется к определению силы, нужной для того, чтобы тянуть шар с центром наверх по плоскости. Шар касается плоскости в точке; соединим ее с центром, проведем через линии плоскость и на ней из центра проведем прямую, параллельную горизонтальной плоскости, после чего из точки восставим перпендикуляр к линии, пересекающей ее в точке. Затем из равенства углов устанавливается, что треугольник нам известен, а следовательно известно отношение, а посему известно и отношение. После этого довольно длинного геометрического доказательства устанавливается, очевидно (об этом ясно не говорится), что если шар будет находиться в равновесии на плоскости, то его можно рассматривать как бы уравновешенным на одном из концов, весов, с точкой опоры, причем для сохранения равновесия необходимо, чтобы на другом конце весов был помещен вес, величина которого будет так относиться к величине (вес шара), как расстояние к расстоянию, при этом центр тяжести веса будет находиться в ?. Затем постулируется, что отношение между силой, приложенной к ?, и силой, приложенной к ?, таково же, каково отношение между самыми весами, из чего выводится, что если по горизонтальной плоскости сила двигала тело к ?, то по наклонной плоскости это же тело будет двигать сила, причем величина определяется пропорцией. Вслед за этим доказательством дается числовой пример, в котором определяется сила, потребная для поднятия данного тела весом в 200 талантов, движимого по горизонтали, силой в 40 человек, по наклонной плоскости в 60° (2/3 прямого угла). Как легко убедиться, все приведенное выше доказательство, будучи в геометрической своей части совершенно безукоризненным, в физической части является попыткой представить в виде доказательства грубо качественное первое приближение, во многом противоречащее опыту и физически совершенно беспомощное. Ошибочно (как мы уже отмечали) первое предположение о необходимости значительной силы для движения тела по горизонтали; ошибочно построение, не использующее известный "Механическим проблемам" и Герону, а следовательно и автору, параллелограмм движений; бесплодна попытка свести равновесие шара на наклонной плоскости к равновесию весов. В определении того, что представляет собой сила, явная путаница: один раз она определяется как сила, потребная для движения тела по горизонтали, в другой же раз идентифицируется с силой веса этого тела как определяющей его равновесие. Таким образом, в наиболее важной как для его времени, так и для дальнейшего развития механики части сочинения Паппа — нахождение силы, потребной для движения тела вверх по наклонной плоскости, сказываются все особенности, свойственные механическому творчеству этого компилятора времени распада античности: трактовка физических проблем без вкуса к ним и понимания их, применение архимедова формально-геометрического метода без свойственной Архимеду органичности и чисто внешняя, поверхностная связь между отдельными элементами доказательства.

После наклонной плоскости подробно и длинно рассматривается исследованный также Героном механизм для подъема грузов, состоящий из системы осей, на каждую из которых насажены две шестерни разных диаметров, причем каждая малая сцепляется с каждой большой. Рассмотрение это, так же как у Герона, носит чисто описательный характер и снабжено числовым примером. После этого, заявив, что изложенное исчерпывает основные проблемы механики, требующие геометрического доказательства, Папп переходит к "Искусству построения", которое дает возможность решать ряд задач, недоступных строгому геометрическому доказательству, например знаменитую Делосскую задачу, и в следующих параграфах (§§ XII—XXIV) подробно разбирает ряд таких задач, нашей теме не относящихся. Последние шесть параграфов (§§ XXV— XXX) опять возвращают нас к проблемам механики или, вернее, к тесно связанным с ними проблемам деталей машин. В них доказывается, что в двух сцепляющихся друг с другом шестернях скорости пропорциональны количеству зубов (§ XXV) и что количества зубов (или, что то же самое, длина окружностей) шестерен относятся друг к другу, как их диаметры — последнее доказывается геометрически и построением. После этого решается задача нахождения диаметра шестерни с данным количеством зубов, сцепляющейся с другой шестерней, количество зубов и диаметр каковой даны (§ XXVII).

Затем (§ XXVIII) описывается весьма подробно, но без какого бы то ни было теоретического обоснования, метод построения винтовой нарезки определенного шага на цилиндре определенного диаметра. Построение производится путем наворачивания медной пластинки на цилиндр, на котором размечены равные шагу интервалы. Пластинка (рис. 5) состоит из параллелограмма и треугольника; длина пластинки равна длине окружности цилиндра, а высота — величине шага. Следующий (XXIX) параграф посвящен описанию построения наклонных зубцов шестерни, предназначенной к зацеплению с винтом (червяком), имеющим данный шаг, и, наконец, последний (XXX) параграф описывает самое зацепление.

Таково в самых общих чертах содержание механического раздела "Собрания" Паппа Александрийца, сочинения компилятивного, пытающегося не только закрепить основные (или, вернее, кажущиеся автору таковыми) достижения античной механики в едином сочинении, но и прибавить от себя некоторые дополнения к наследию, оставленному древними. Это сочинение, как в зеркале, отражает обреченность античного мира. Автор уже не имеет ни живого технического чутья Герона, пусть лишенного интереса к строгим геометрическим построениям, ни органической строгости геометрических доказательств Архимеда, наиболее близкого ему по духу, ни стройного и целостного представления о единой системе всего сущего, свойственного Аристотелю и его окружению.