ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. МЕХАНИКА - ГЛАВА 1. АНТИЧНОСТЬ. § 3. АРХИМЕД

Следующий крупный этап в развитии античной механики представляет собой творчество Архимеда, но, прежде чем перейти к его рассмотрению, мы должны кратко остановиться на памятниках, являющихся переходной ступенью от "Проблем механики" к работам Архимеда, — на отрывках механических произведений, приписываемых Евклиду.

Отрывки эти, тщательно изученные Дюхемом , в самых различных комбинациях, версиях и переводах были широко распространены в средние века. Связываясь с абсолютно авторитетным именем Евклида и с именами различных комментаторов, в первую очередь — арабов, они, наряду с "Механическими проблемами", были одним из источников, из которого черпала свои сведения, видоизменяя их согласно своим вкусам, феодальная наука.

Ни один из этих отрывков не дошел до нас в неприкосновенности. Все сохранившиеся версии носят на себе настолько сильный отпечаток своей эпохи, что чрезвычайно трудно определить, какая их часть является основным текстом и какая образовалась в результате дальнейших наслоений. Поэтому, не останавливаясь на подробном изложении отрывков, мы ограничимся их общей характеристикой.

Отрывков, непосредственно связанных с именем Евклида, существует три: "трактат de gravi et levi", изданный в XVI в. Хервагеном и затем в другом латинском переводе Куртце; сохранившийся на арабском языке трактат о весах, изданный Венке; наконец, четыре теоремы, изложенные, но, к сожалению, не изданные Дюхемом. Эти три отрывка составляют целое, может быть более стройное и однородное, чем "Механические проблемы", но в виде отдельного трактата не встречаются.

Первый из них — "Liber Euclidis de gravi et de comparatio" ne corporum ad invicem" сохранился в латинском переводе в ряде средневековых рукописей. Он представляет собой связное и строгое изложение основной формулы Аристотеля для приобретаемого движения — формулы о пропорциональности между силой, весом и расстоянием, проходимым данным весом под действием данной силы в данной среде. Однако в то время как в аристотелевой физике положение это было высказано в описательной форме и всеми своими элементами было связано с остальными частями сочинения, являясь только одним из этажей стройной космологической системы, — оторванное от этой системы, оно рассматривается здесь как совершенно самостоятельное целое и, что самое важное, изложено в подчеркнуто математической форме.

Доказательства отрывка по всему своему стилю, по методу замены абстрактных понятий наглядными величинами совершенно чужды всему характеру античной науки и, как увидим ниже, чрезвычайно близки к характеру науки средневековой. Поэтому мы, вопреки утверждению Дюхема, склонны считать их либо полностью созданными в XII—XIII вв., либо радикально измененными в это время. Но, независимо от доказательств, самый метод, самая форма, в которую отлито все изложение, но всей вероятности характерны именно для античной науки III в. до н. э. Стремление к научной строгости, к сведению всякого научного положения к самоочевидным аксиоматическим констатациям с последующим выведением из них, опять-таки возможно более строгим, логически-геометрическим путем, того, что требуется доказать, определяет собой исключительно высокий уровень научной абстракции, приведшей к созданию одного из величайших памятников научной мысли человечества — евклидовых "Начал".

Это же стремление к строгости определяет и тот несколько сухой, подчеркнуто формальный характер, который приобретают научные построения трактата. Цель — стремление дать возможно более стройную и замкнутую систему положений, а не привести к каким-нибудь новым результатам и открытиям, каковые зачастую получаются совсем другим, менее строгим путем и затем уже post factum вводятся в систему строго научных определений и доказательств.

Таким образом, как и у Аристотеля и, наверное, до него, наука призвана не изменять, а только осмыслять данные в реальной действительности явления. Однако здесь она уже выходит за пределы простого описания и констатации и пытается доказывать, создает тот аппарат, который в дальнейшем будет использован научной мыслью совсем с другими целями.

Вне наших исследовательских возможностей находится хотя бы суммарное определение тех связей, которые, несомненно, существовали между заключением в строгие, но слишком абстрактные формы античной математики вообще и механики в частности и начинавшим все более давать себя чувствовать упадком греческих городов-республик, созданием на их месте крупных государств с значительным кругом ученых-профессионалов, группировавшихся вокруг дворов монархов, с перенесением культурных центров из Греции на африканское побережье. Связь эта, на важность выяснения которой указал в своей чрезвычайно интересной, но, к сожалению, только Программной статье М. Я. Выгодский , еще не выяснена сколько-нибудь удовлетворительно.

Второй приписываемый Евклиду отрывок в том виде, как он опубликован Вепке , по-видимому не был известен в средние века. В других же слегка измененных вариантах и в соединении с отрывком, разобранным выше и еще подлежащим разбору, он более чем вероятно входил в тот фонд механического наследия античности, из которого черпала средневековая наука, — в фонд, изученный далеко не полно.

Отрывок этот, несомненно, дошел до нас в чрезвычайно искаженном виде. Он слишком логичен по самому построению и в отдельных своих частях, чтобы можно было считать его слабым и безграмотным в оригинале. Между тем слабость отдельных частей его почти не вызывает сомнений в том, что они испорчены переводчиками или переписчиками. Основная структура отрывка вполне ясна: он продолжает ту же линию, которую мы констатировали в предыдущем отрывке, но, в то время как последний сводил к простейшим самоочевидным аксиомам и доказываемым теоремам основную перипатетическую формулу движения, настоящий отрывок пытается то же самое сделать для закона весов или рычага. Весь текст сводится к одному определению, двум аксиомам и четырем предложениям. Определение говорит, что вес есть мера тяжести и легкости, измеряемая при помощи весов. Аксиома первая утверждает, что если два груза укреплены на концах прямого однородного весомого стержня, подвешенного к середине, то стержень находится в горизонтальном положении. Вторая аксиома говорит, что при удлинении любого из подвесов грузов весы останутся в равновесии. Из этих двух аксиом в отрывке и делается попытка вывести закон рычага, что, конечно, не удается.

Соглашаясь с Дюхемом в том, что изложенный отрывок носится к эллинистической науке, мы, однако, находим на не ощутимые следы арабской науки, через которую он прошел. Наконец, третий отрывок, связанный с именем Евклида, к сожалению только изложен Дюхемом, правда — весьма подробно, но не издан им, . Он состоит из следующих четырех предложений, в которых рас сматриваются уже не геометрические, а физические весы с весомым коромыслом.

1) Если коромысло весов, первоначально находившееся в равновесии, затем выходит из него, то силы, приложенные к концам его, относятся друг к другу так же, как пути, проводимые этими концами.

2) Если весомое коромысло весов (рис. 2) подвесить не в середине, то, чтобы уравновесить собственный вес более длинного плеча, надо на более коротком подвесить груз, так относящийся к весу разницы между весами двух плеч, как расстояние между серединой отрезка, представляющего собой разницу между плечами и точкой подвеса, будет относиться к малому плечу.

3) Если на плече коромысла расположены четыре равных равно отстоящих друг от друга груза, то они могут быть заменены одним грузом, равным их сумме и помещенным в середине расстояния, которое они занимают на плече.

4) То обстоятельство, что коромысло весов есть весомый цилиндр, ничего не изменяет в поведении грузов.

Весь характер этого отрывка и самая постановка вопрос о весомом коромысле свидетельствуют о том, что либо отрывок этот еще больше, чем предыдущие, искажен переводчиками, либо (и скорее всего) является произведением не античной, арабской или западноевропейской феодальной науки; поэтому мы упоминаем о нем только мимоходом и еще раз вернемся к нему ниже.

Все рассмотренные нами отрывки могут быть, следовательно, названы античными и связаны с именем Евклида только сугубо условно. В дошедшем до нас виде они характеризуют другую среду и другую научную систему, но более чем вероятно, что все они выросли на каком-то античном, эллинистическом и притом предшествующем Архимеду фундаменте, почему мы и говорим о них в данном мосте.

Можно было, конечно, и не упоминать о них при рассмотрении механики античности, но так как, даже не разделяя мнения Дюхема, нельзя все же абсолютно убедительно доказать его несостоятельность, то полное умолчание о целой группе сочинений, которые могут оказаться относящимися к данной эпохе, казалось нам недопустимым

Легко убедиться в том, что рассмотренные нами три отрывка, приписываемые Евклиду, содержат в себе тот же круг вопросов, который освещали и "Механические проблемы", именно: общетеоретические положения и основной закон движения — первый отрывок, доказательства закона весов (рычага) — второй, применение этого закона к реальным техническим объектам, в данном случае к физическому рычагу, или, вернее, к физическим весам, — третий отрывок.

Однако, как мы это уже отмечали при разборе первого отрывка, самый подход к предмету значительно изменился. "Механические проблемы" — порождение расцвета греческого общества — обнаруживают еще теснейшую и органическую связь всего построения механики и отдельных ее формулировок со всей философской, космологической системой, наиболее полно отраженной в философской энциклопедии Аристотеля, и, с другой стороны, обнаруживают исключительно живой и проникающий во все детали интерес к проблемам техники, правда, не пытаясь воздействовать на нее.

Псевдоевклидовские отрывки датируются Дюхемом III до н. э. Это время ширящегося омертвения греческого общества, когда, при сохранении внешнего благосостояния, высшие слои его теряют реальное руководство жизнью. Порожденные этим временем отрывки обнаруживают стремление сделать самостоятельными отдельные науки и отдельные научные проблем" вырвать их из общей философской связи, свести каждую к немногим основным, самоочевидным положениям и базирующая на них четким геометрическим доказательствам. Наука нарабатывает свои собственные методы и приемы, свою сравнительно совершенную технику; в то же время она формализируется, отходит от реально ощущаемой жизни, теряет тот живой, хотя и созерцательный, интерес к проблемам реальности, в первую очередь технической, который столь ясно выражен в "Механических проблемах".

Во многих отношениях завершением только что отмечены тенденций является механическое творчество Архимеда. Нужно однако, сказать, что, насколько рассмотренные нами отрывки (за исключением второго) были, наравне с сочинениями Аристотеля, широко известны средневековой науке, настолько сочинения Архимеда не пользовались популярностью. Несомненно, что здесь сыграли роль не только случайные обстоятельства, - кодексы с греческими сочинениями Архимеда, очевидно имелись в достаточном количестве, — но самый характер его творчества, к рассмотрению какового мы сейчас перейдем.

К сожалению, главные сочинения, в которых, согласно имеющимся свидетельствам, Архимед изложил основы cad механической концепции, а именно трактаты "О центре тяжести" и "О весах или рычагах", до нас не дошли. В ряде сохранившихся в полном виде или в отрывках его работ, в первую очередь в его труде "О равновесии плоских тел или о центрах жести плоских тел", затем в "Квадратуре параболы", и, наконец, в сравнительно недавно (1907 г.) опубликованном "Письмо Эратосфену" даны части его механической концепции, столь значительные и полные, что общая ее конструкция и основные, характерные черты могут быть установлены с полной несомненностью .

Наиболее полно механические положения Архимеда изложены, как уже сказано, в трактате о равновесии плоских тел, содержание которого мы кратко приведем. Подобно рассмотренным выше отрывкам трактат начинается с семи аксиом, формулирующих кратко и чрезвычайно четко те основные самоочевидные положения, на которых построено затем все доказательство.

Первые три и шестая аксиомы относятся к равновесию тел на весах. "Мы утверждаем, что равные веса уравновешиваются, но что весы отклоняются в сторону веса, расположенного на большем расстоянии", гласит первая аксиома — основная и решающая. Вторая и третья только развивают высказанное. Вторая утверждает, что "если веса будут находиться в равновесии на определенных расстояниях и к одному из них прибавить некоторый груз, то они больше не уравновешиваются, но носы отклоняются в сторону груза, к которому нечто прибавлено". Третья же аксиома утверждает то же для случая отнятия нега от одного из грузов. Наконец, шестая аксиома указывает, что если два тела определенной величины уравновешиваются на определенных расстояниях, то тела, величины которых равны первым, будут также уравновешиваться на тех же расстояниях. Четвертая, пятая и седьмая аксиомы относятся к центрам тяжести плоских тел. Основное положение (аксиома IV) здесь таково: "Центры тяжести плоских, совпадающих, равных и подобных тел также совпадают". Пятая аксиома развивает это положение, утверждая, что центры тяжести неравных, но подобных тел будут расположены подобно, и, наконец, седьмая аксиома подчеркивает, что центр тяжести всякой фигуры, имеющей выпуклый в одну сторону периметр, расположен внутри этой фигуры.

За аксиомами следуют базирующиеся на них и друг на друге предложения, все более усложняющие рассматриваемые вопросы. Первое, доказательство которого мы для примера приведем, говорит, что веса, уравновешивающие друг друга на равных расстояниях, равны. Действительно, предположим, что они не равны; тогда, отняв излишек от большего, мы получим нарушение равновесия по третьей аксиоме, а это противоречит первой аксиоме, и, следовательно, предложение доказано. Второе предложение доказывает, что неравные веса, расположенные на равных расстояниях, не уравновешиваются и что весы отклоняются в этом случае в сторону большего веса. Третье предложение посвящено доказательству того, что неравные веса на неравных расстояниях уравновешиваются, причем больший вес будет расположен на меньшем расстоянии. Четвертое предложение доказывает, что "если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то центр тяжести величины, составленный из этих двух величин, будет находиться в середине прямой, соединяющей центры тяжести этих величин". Пятое предложение, развивающее доказанное в четвертом, которое вообще является центральным во всей механической системе Архимеда (насколько мы ее знаем), доказывает, что "если тяжести трех величин расположены на одной прямой, если эти величины имеют равный вес и если отрезки прямой, расположенной между центрами тяжести, равны, то центром тяжести величины, составленной из всех этих величин будет точка, являющаяся также центром тяжести средней из этих величин". Из этого предложения выводятся два следствия, развивающие его для нечетного и четного числа величин.

Наконец, шестое, основное предложение утверждает, что "соизмеримые величины уравновешиваются на расстояниях, обратно пропорциональных их весам". Приведем в возможно более кратком виде это изумительное по стройности доказательство. Мы имеем (рис. 3) соизмеримые величины А и В, с центрами тяжести в А и В и прямую Е? с точкой Г, расположенной так что ЕГ/Г?=В/А. Надо доказать, что точка Г есть центр тяжести величины, составленной из двух величин А и В. Пусть общая пера соизмеримых прямых ЕГ и Г? будет N. Продолжим прямую Е? в обе стороны и отложим на ней отрезки ?Н и ?К, равные ЕГ, и отрезок равный Г?. Из построения ясно, что ?Г равно ЕН, а следовательно ?? вдвое больше ?Г и НК вдвое больше ЕГ. Из этого следует, что N является общей мерой ?Н и ?Г, будучи общей мерой их половин. Из этого также следует, что ?Н/НК=А/В. Примем, что ?Н/N=A/Z, но НК/?Н=В/А, следовательно НК/N=B/Z, следовательно Z есть общая мера А и В и, следовательно, в прямой ?Н помещается такое же количество отрезков, равных N, как в площади А помещается площадей, равных Z. Если теперь на каждом из отрезков В прямой ?Н, равных N, поместить площадь Z так, чтобы центр тяжести площади находился в середине отрезка, то полученная площадь будет равна площади А и общий центр тяжести последней площади будет находиться в точке Е (по пятому предложению). Таким же образом можно доказать, что на отрезке ЕН можно расположить определенное число площадей Z (равное отношению КН/N) с общим центром тяжести В. В результате мы получим определенное число равных величин, расположенных на одной прямой так, что расстояния между их центрами тяжести равны; следовательно, их общий центр тяжести помещен на этой же прямой, в середине между средними тяжестями (предложение пятое). Но ?Е=Г? и ЕГ=?К по построению, а следовательно Г есть середина прямой ?К, и на ней расположен общий центр тяжести всех помещенных на этой прямой весов, что и требовалось доказать, так как все маленькие веса Z, расположенные на отрезке ?Н, можно заменить равным их сумме весом А и поместить его в центре отрезка в Е; таким же образом все веса Z на отрезке НК можно заменить весом В, помещенным в ?, причем веса А и В будут уравновешиваться вокруг точки опоры Г.

В дальнейшем изложении дается распространение закона рычага на случай несоизмеримых величин; доказывается чрезвычайно важная теорема (связывающая учение о центре тяжести с учением о рычаге) о том, что если от определенной величины отрезать определенную часть, имеющую свой центр тяжести, то центр тяжести остатка будет находиться на продолжении прямой, соединяющей центры тяжести полной и отрезанной величин на таком расстоянии от центра тяжести всей величины, что отношение его к расстоянию между центрами всей величины и отрезанной его части будет равно отношению величины отрезанной к полной. После этого промежуточного доказательства трактат переходит к нахождению центров тяжести различных плоских фигур, чему и посвящены оставшиеся 7 предложений первой книги (прямолинейные плоские тела) и вторая книга.

Мы привели сравнительно подробно несколько первых страниц архимедова трактата, чтобы иметь возможность охарактеризовать общий стиль механики великого сиракузца, сравнить ее с механическими конструкциями его предшественников и особенно последователей.

Из приведенного материала можно убедиться в том, что отмеченные нами в псевдоевклидовых отрывках черты развиты у Архимеда гораздо сильнее и создают некую замкнутую систему. Доказательство закона рычага, составляющее сущность приведенных частей трактата, выделено из общефилософской системы, с которой оно было еще неразрывно связано в "Проблемах механики".

У Архимеда научное доказательство приобретает возможно полную самостоятельность. Окончательно выкован научный метод выведения того, что требовалось доказать из немногих самоочевидных констатации и затем из постепенно надстраивающихся друг над другом строго геометрически доказываемых теорем. Создан как бы идеал строгого и абсолютно стройного математического построения, подчиненного только своим законам и не нуждающегося в расплывчатых и нестрогих философских обобщениях. На этот идеал будут с благоговением взирать в XVI в. — веке создания современной науки.

Но в то же время формализм, который отличал евклидов метод, доведен здесь до апогея, и разрыв всей научной системы с практикой и ее реальными требованиями действительно громаден. В самом деле, ни одна из теорем, ни одно из доказательств не имеет целью получить какой-нибудь новый, даже чисто теоретический результат. Результаты либо заранее известны, либо получаются иными, черновыми, по мнению Архимеда нестрогими, методами, а затем, уже будучи получены, блестяще осмысляются, вводятся в стройную систему абстрактных геометрических спекуляций; они приобретают внешние черты, необходимые для светских, благовоспитанных, точных научных доказательств, столь характерных для всей блестящей культуры эллинистического Востока.

Таким образом, отмеченный нами выше констатирующий характер античной механики, характер, отличающийся отсутствием попыток научно воздействовать на практику при постоянном стремлении философствовать или размышлять по поводу этой практики, сохраняется в системе Архимеда в полной неприкосновенности. Но в соответствии с изменившимся временем самая эта система приобретает совсем другие очертания. Громадный импульс, данный науке греческого мира эпохой социального, экономического и политического расцвета, сохраняется и передается миру эллинистическому — блестящему, но безнадежно дряхлому. Он создает исключительные по своему научному совершенству и послужившие базой для современной науки методы, но в то же время эти методы глубоко формальны и как бы висят в воздухе. Отраженные в работах Архимеда по механике, они могли дать действительно богатые плоды, только будучи поставлены в другие исторические условия.

Мы не затрагиваем в настоящей работе исключительно интересного вопроса о полноте и строгости доказательства закона рычага, данного Архимедом, — вопроса, получающего различные решения в современной литературе. . Однако, независимо от решения этого вопроса, совершенно несомненным и правильным является утверждение Вайлати о том, что вся аргументация механики Архимеда базируется на учении о центре тяжести и некоторых его свойствах в такой же мере, как аргументация "Проблем механики" базировалась на учении о движении по кругу. Поэтому можно утверждать, что насколько "Проблемы" динамичны, настолько работы Архимеда статичны.

Современное состояние науки не позволяет всесторонне объяснить такой переход в механике, но представляется вероятным, что как учение о движении (см. выше, стр. 36) было связано с актуальнейшими техническими проблемами своего времени, так и учение о центре тяжести, являющееся серьезным научным фактором, примерно, со времен Архимеда, было связано со значительно усложнившейся к этому времени строительной техникой. Характерной чертой последней как paз является разрешение, конечно экспериментальное, более сложных статических задач — постройка сводов, арок и перикрытий с большими пролетами, т. е. задач, обязательно требующих развитого учения о центре тяжести. Недаром Герон сообщает, что у Архимеда было и специальное сочинение "Книга об опорах, посвященное проблемам сопротивления материалов и статики сооружений.

Необходимо, однако, еще раз напомнить, что если такая связь между механикой Архимеда и наиболее актуальным вопросом техники его времени и существовала, то это нисколько не противоречит констатированному выше нетехническому, формальному характеру всей аргументации Архимеда: в его работах находят место и строго научно объясняются актуальнейшие вопросы техники, но он и не помышляет о том, чтобы воздействовать на изучаемые объекты.

Но опровергает этого положения и тот общеизвестный факт, что Архимед сам был иногда техником-практиком. Представление о "высоком" характере "чистой" науки, практически не используемой, и о чисто экспериментальном характере техники, глубоко чуждое миропониманию человека нового времени, было органически несомненно для представителя античности. Занимаясь техникой практически, Архимед использует отточенный научными занятиями ум и, наоборот, черпает из техники объекты для своих чисто научных построений, обратно в технику, но возвращающихся.

Таким образом, механика эллинская и эллинистическая на всем своем блестящем и, к сожалению, далеко не полностью известном нам пути развития сохраняет одни и те же основные черты: философски констатирующий характер и отказ от применения результатов научного исследования на практике, сначала тесную, а затем все более рассыпающуюся связь с общефилософскими, космологическими построениями, интегральной частью которых являются наиболее полно сформулированные Аристотелем основные законы движения, применение исключительно простых пропорциональностей и наглядно геометрический способ доказательств. В рамках этой оставшейся неизменной системы разрабатываются, однако, отдельные аргументы, делаются наблюдения, находятся методы, которые, при всей абстрактности построения и единства системы, достигают высокой степени научного совершенства и, будучи введены как основные элементы в другую систему, выросшую на иной исторической почве, создают классическую механику.